In het Ierse Newgrange vind je een 5000 jaar oude neolitische begraafplaats: een grafheuvel van 80 m hoog. Hij is 600 jaar ouder dan de piramides van Gizeh en 900 jaar ouder dan Stonehenge.
veelvlakken en symmetrie
Hoe kan je met regelmatige veelhoeken veelvlakken maken en welke symmetrieën bezitten ze?
Table of Contents
- oudheid
- prehistorie
- Romeinse tijd
- driehoek als zijvlak
- driehoek als grondvlak
- vierkant als grondvlak
- vijfhoek als grondvlak
- zeshoek als grondvlak
- zeven of meer
- andere veelhoeken als zijvlak
- vierkant als zijvlak
- vijfhoek als zijvlak
- zeshoek als zijvlak
- Platonische lichamen
- Platonische lichamen
- Een lichaam in een lichaam
- de tetraëder
- de kubus
- de octaëder
- de dodecaëder
- de isocaëder
- duale veelvlakken
- symmetrie van veelvlakken
- rotatiesymmetrie van tetraëder
- spiegelsymmetrie van tetraëder
- rotatiesymmetrie van kubus
- spiegelsymmetrie van kubus
- rotatiesymmetrie van octaëder
- spiegelsymmetrie van octaëder
- rotatiesymmetrie van dodecaëder
- spiegelsymmetrie van dodecahedron
- rotatiesymmetrie isocaëdron
- spiegelsymmetrie isocaëder
- Kepler-Poinsot lichamen
- Kepler-Poinsot lichamen
- grote twintigvlak
- kleine sterdodecaëder
- grote sterdodecaëder
- overzicht
prehistorie
decoratieve patronen
Reeds in de prehistorie oefende symmetrie een aantrekkingskracht uit. [br]In decoratieve motieven van duizenden jaar oud vinden we symmetrische patronen: spiralen, concentrische cirkels enz.
De ingang tot de tombe wordt afgeschermd door grote stenen met spiralen en zigzagvormen.
symmetrie in drie dimensies
Naast vlakke decoratieve patronen vinden we in de prehistorische kunst ook ruimtelijke symmetrie terug.
Het British Museum bezit ballen, afkomstig uit Schotland en daterend van 2500 vChr. Op de ballen zijn geometrische patronen aangebracht en de steenhouwers hebben duidelijk gespeeld met verschillende symmetrische ordeningen van uitstekende knoppen.
Heel opmerkelijk is ook een soortgelijke bol, gevonden in het Schotse Towie en nu bewaard in Edingburgh. Het heeft geen zes, maar vier uitstekels, die alle versierd zijn met complexe patronen van spiralen en cirkels
driehoek als grondvlak
We starten met een gelijkzijdige driehoek als grondvlak enn langs de zijden van deze driehoek plaatsen we drie even grote gelijkzijdige driehoeken. [br]Plooi nu deze driehoeken naar boven een kijk naar het resultaat.
Het resultaat is een piramide met driehoekig grondvlak. [br]De piramide bestaat uit vier gelijke gelijkzijdige driehoeken en is dus een regelmatig veelvlak.[br]Omdat het regelmatig veelvlak opgebouwd is uit vier vlakken, noemt men het een [b]tetraëder[/b] of viervlak.
vierkant als zijvlak
Het maakt niet uit hoeveel hoeken het grondvlak heeft. Door de vierkanten 90° naar boven te plooien, vorm je steeds een prisma.[br]Enkel wanneer je vertrekt vanuit een vierkant als grondvlak krijg je een regelmatig veelvlak. De [b]kubus [/b]heeft zes gelijke vierkanten als zijvlakken.
Platonische lichamen
Pythagoras (6e eeuw v.Chr.) zag in Egypte de piramides en in Zuid-Italië de twaalfvlakkige dobbelstenen die de Romeinen gebruikten. Hij geloofde dat de werkelijkheid kon begrepen worden door hun wiskundige samenhang te onderzoeken en kende driehoeken en vijfhoeken spirituele betekenis toe.[br]Een eeuw na zijn dood onderzoekt Plato hoeveel mogelijke regelmatige veelvlakken er mogelijk zijn.[br]Samen met zijn vriend Thaetetus legt hij de voorwaarden voor zo'n regelmatigheid vast.[br][i]Een regelmatig veelvlak is een convex veelvlak waarvan de zijvlakken congruente regelmatige veelhoeken zijn. en ook alle hoekpunten congruent zijn.. [/i][br]Ze besluiten: [br]- De zijvlakken kunnen hoogstens regelmatige vijfhoeken zijn.[br]- Er zijn slechts vijf mogelijke regelmatige veelvlakken.[br]We noemen ze '[b]de vijf Platonische lichamen[/b]'.
Wat zijn de voorwaarden voor een regelmatig veelvlak:[br]- De zijvlakken zijn regelmatig (gelijkzijdige driehoek, vierkant of gelijkzijdige vijfhoek)[br] Met regelmatige zeshoeken, zeven- of meerhoeken kan je geen lichaam vormen.[br]- De zijvlakken zijn congruent[br]- De hoekpunten zijn congruent[br]- Het veelvlak is convex (anders gezegd: er zitten geen holtes in).[br][br]Met deze voorwaarden komen we tot vijf regelmatige veelvlakken:
Het viervlak, het achtvlak en het twintigvlak zijn opgebouwd uit gelijkzijdige driehoeken. [br]De kubus heeft vierkanten als zijvlakken en het twaalfvlak regelmatige vijfhoeken.
rotatiesymmetrie van tetraëder
Versleep de schuifknop en roteer het viervlak rond de rode draaias. Het veelvlak past iet meer in het grijze kader. [br]Versleep nu het rode punt in het grondvlak. Vind je een punt, zodat het veelvlak wel in het kader past? [br]Bij draaiing over welke hoek(en)? Als hulp kan je de middelpunten van de ribben en/of het grondvlak tonen.
De meest evidente rotatiesymmetrie gaat door een hoekpunt en het middelpunt van het overstaande zijvlak. Het is een symmetrie over 120°. <br>[br]Iets minder voor de hand liggend is een draaias door de middens van twee tegenover elkaar liggende ribben. Hier is de symmetrie 180°.
Kepler-Poinsot lichamen
Bij het bestuderen van de platonische lichamen zagen we al dat je een regelmatig twintigvlak (icosaëder) kan bekijken als het in elkaar schuiven van 12 piramides met vijfhoekig grondvlak.
De Franse wiskundige Louis Poinsot stelde zich in 1810 de vraag: "Wat bekom ik als ik van deze piramides enkel de grondvlakken overhoud?".
Poinsot ontdekte een nieuw regelmatig veelvlak, opgebouwd uit 12 regelmatige vijfhoeken. Hij noemde het lichaam "[b]Le Grand dodécaèdre[/b]" (het grote twaalfvlak). Had Poinsot een zesde platonisch lichaam ontdekt? Het nieuwe lichaam bestaat inderdaad uit congruente regelmatige veelvlakken en ook de hoekpunten zijn congruent. Maar... het lichaam is niet convex, d.w.z. de twaalf vijfhoeken snijden elkaar. [br]In volgend applet zie je de 12 vijfhoeken van het grote twaalfvlak verschillend ingekleurd.
Maar hoeveel van deze niet-convexe regelmatige veelvlakken kan je maken?[br]Poinsot ontdekte dat hij een analoog lichaam kon opbouwen vanuit een regelmatig twintigvlak. Johannes Kepler beschreef reeds in 1619 twee stervormige lichamen. En in 1813 bewees Cauchy dat met deze vier lichamen het rijtje volledig was. Met zijn vier vormen ze, naar hun ontdekkers, de Kepler-Poinsot lichamen.
