MERLO Aufgaben zu funktionalen Abhängigkeiten
Dieses GeoGebra Buch beinhaltet Materialien für Lehrerinnen und Lehrer zu ausgewählten Beispielen von [color=#198f88]Funktionen in der Sekundarstufe II im MERLO Stil[/color]. Jedes Beispiel entspricht einer Unterrichtssequenz zu einem bestimmten Thema und enthält die jeweiligen [color=#198f88]Kompetenzen[/color] zur Unterrichtssequenz (didaktischer Kommentar) und Material für Lehrerinnen und Lehrer ([color=#198f88]Druckvorlage mit verlinktem Arbeitsblatt und Lösungen[/color]). Das 1. Kapitel beschäftigt sich mit der Erklärung von MERLO Elementen und einer allgemeinen Unterrichtsplanung zum Thema funktionale Abhängigkeiten. Das 2. Kapitel enthält zwei MERLO Aufgaben für den Einsatz in der [color=#1551b5]9. Schulstufe[/color]. Das 3. Kapitel enthält zwei MERLO Aufgaben für den Einsatz in der [color=#1551b5]10. Schulstufe[/color]. Das 4. Kapitel enthält sieben MERLO Aufgaben für den Einsatz in der [color=#1551b5]11. Schulstufe[/color].
Table of Contents
- Einleitung
- Unterrichtsplanung
- MERLO Aktivität
- Schulstufe 9
- Eigenschaften einer linearen Funktion - Didaktischer Kommentar
- Interpretation einer linearen Funktion - Didaktischer Kommentar
- Schulstufe 10
- Eigenschaften einer quadratischen Funktion - Didaktischer Kommentar
- Eigenschaften einer Polynomfunktion - Didaktischer Kommentar
- Schulstufe 11
- Nullstellen und Krümmung einer linearen Funktion - Didaktischer Kommentar
- Das Verhalten einer Potenzfunktion - Didaktischer Kommentar
- Ableitung, Extrem- und Wendestellen einer Polynomfunktion - Didaktischer Kommentar
- Sattelpunkte, Null- und Extremstellen einer Polynomfunktion - Didaktischer Kommentar
- Krümmungsverhalten einer Exponentialfunktion - Didaktischer Kommentar
- Ableitung und Nullstellen einer Exponentialfunktion - Didaktischer Kommentar
- Monotonieverhalten einer Exponentialfunktion - Didaktischer Kommentar
Unterrichtsplanung
[size=150]Hierbei handelt es sich um eine allgemeine Unterrichtsplanung zu den dargestellten Unterrichtssequenzen. Die jeweiligen Kompetenzen für die einzelnen Beispiele sind in den nachfolgenden Kapiteln aufgeführt. [/size]
Allgemeine Informationen
[table][tr][td][list][*]Fach:[/*][/list][/td][td]Mathematik[/td][/tr][tr][td][list][*]Schulstufe:[/*][/list][/td][td]9. - 12. Schulstufe[/td][/tr][tr][td][list][*]Dauer der jeweiligen Lernsequenzen: [/*][/list][/td][td]eine Unterrichtseinheit[/td][/tr][tr][td][list][*]Technologie: [/*][/list][/td][td]Tablets / Laptops für Schülerinnen und Schüler[/td][/tr][tr][td][/td][td][/td][/tr][/table]
Thema
Das Thema dieser Unterrichtssequenzen ist funktionale Abhängigkeiten, im speziellen geht es um verschiedene Funktionsbegriffe, ihre Darstellungsformen und Eigenschaften der vorkommenden Funktion.
Vorwissen
Die Schülerinnen und Schüler sind in der Lage verschiedene Funktionen aufgrund ihrer Eigenschaften zu erkennen und zu benennen. Außerdem können sie Funktionsgraphen erstellen und selbige im richtigen Kontext deuten.
Überprüfen des Lernerfolges
Schülerinnen und Schüler bearbeiten diese vorgestellten Aktivitäten unabhängig voneinander und die Lehrperson bekommt nach der Durchführung eine Sammlung von Antworten am Ende der Aktivität. Somit kann kontrolliert werden, wer die Aufgabe probiert, gelöst und geschafft hat. Dies hat den Vorteil, dass auf die eventuellen Fehler und Schwächen der Schülerinnen und Schüler direkt im Unterricht Stellungnahme genommen werden kann und somit eine Diskussion gefördert wird.
Unterrichtsablauf und Beschreibung der Aktivitäten
Für die Durchführung dieser Schülerinnen- und Schüleraktivität sollte eine Unterrichtseinheit hergenommen werden. Der wichtige Teil dieser Aufgabe besteht darin im Nachhinein als Lehrkraft eine Tabelle mit den gegebenen Antworten zu erhalten, um entweder gleich darauf oder in der nächsten Unterrichtseinheit auf aufgetretene Schwierigkeiten der Schülerinnen und Schüler eingehen zu können. [br][br]Die Aufgabe ist als [url=https://www.geogebra.org/m/wm9fk2qp]MERLO Aktivität[/url] konzipiert, d.h. es handelt sich um eine Art Multiple-Choice Aufgabe, in der zwei oder mehrere Aussagen dieselbe mathematische Bedeutung teilen obwohl sie eine unterschiedliche Darstellungs- bzw. Repräsentationsform nutzen. Der Unterschied der beiden Aufgabentypen besteht darin, dass bei MERLO Aktivitäten jede Aussage genauestens von den Lernenden überprüft werden muss, weil die Schülerin bzw. der Schüler die Beweggründe ihrer / seiner Entscheidung schriftlich festhalten muss. Eine tiefergehende Erklärung für Lehrerinnen und Lehrer erfolgt im [url=https://www.geogebra.org/m/xy42kbet]GeoGebra Buch[/url].
Eigenschaften einer linearen Funktion - Didaktischer Kommentar
Kurzbeschreibung
Diese Aktivität lässt sich schon sehr bald im Erarbeitungsprozess von linearen Funktionen einsetzen, da die Schülerinnen und Schüler hauptsächlich nur dazu in der Lage sein müssen, Punkte in die Funktionsgleichung einzusetzen und zu überprüfen ob sie auf der Geraden liegen. Das Steigungsdreieck müsste jedem Lernenden erstmals schon in der 8. Schulstufe begegnet sein und sollte somit hier schon verwendet werden können. Ebenso verhält es sich mit dem Wert [math]d[/math], der als Abschnitt auf der [math]y[/math]-Achse interpretiert werden kann.
Kompetenzen
Die Schülerinnen und Schüler können ...[list][*]anhand einer gegebenen Funktionsgleichung die allgemeine Form einer linearen Funktion angeben und im Kontext deuten.[/*][*]mittels zwei gegebener Punkte die Funktionsgleichung einer linearen Funktion anschreiben.[/*][*]einen Punkt in die Funktionsgleichung einsetzen und kontrollieren, ob dieser auf der Geraden liegt.[/*][*]die Eigenschaften des Graphens einer linearen Funktion ablesen.[/*][*]den Wert [math]d[/math] einer linearen Funktionsgleichung als Schritte auf der [math]y[/math]-Achse interpretieren.[/*][*]mit dem Begriff der Steigung einer linearen Funktion Verbindungen knüpfen.[br][/*][/list]
Materialien
[url=https://www.geogebra.org/m/upydewxy]Online Arbeitsblatt für Schülerinnen und Schüler[/url]
Kopiervorlage für Schülerinnen und Schüler
Lösungen
[list][*] Bei Aussage [b]E[/b] handelt es sich um die Zielaussage in Form der Funktionsgleichung einer linearen Funktion. Natürlich handelt es sich bei Aussage A ebenfalls um eine lineare Funktion, diese hat aber keinerlei sonstige Gemeinsamkeiten mit den übrigen Aussagen. [br][br][/*][*]Aussage[b] B[/b] hat dieselbe mathematische Bedeutung wie die Zielaussage E, da es sich hier um zwei Punkte handelt, die auf der gegebenen Geraden liegen (Kontrolle durch Einsetzen des [math]x[/math]- und [math]y[/math]-Wertes in den Funktionsterm). Es handelt sich lediglich um eine andere Darstellungs- bzw. Repräsentationsform dieser linearen Funktion. [br][br][/*][*]Aussage [b]D[/b] teilt ebenfalls dieselbe mathematische Bedeutung wie die Zielaussage E, es handelt sich wieder um eine andere Art von Darstellungs- bzw. Repräsentationsform der gegebenen linearen Funktion, nämlich um ihren zugehörigen Funktionsgraphen.[br][br][/*][*]Aussage [b]A[/b] teilt nicht dieselbe mathematische Bedeutung wie die Zielaussage E, da sie lediglich eine andere lineare Funktion beschreibt, die in keinerlei mathematischem Zusammenhang zu den anderen Aussagen steht. Die Aussage erscheint nur in derselben Darstellungs- bzw. Repräsentationsform wie E.[br][br][/*][*]Aussage [b]C[/b] teilt weder dieselbe mathematische Bedeutung wie die Zielaussage E, noch verwendet sie dieselbe Darstellungs- bzw. Repräsentationsform wie die Zielaussage, da hier eine andere Art von Zeichensystem verwendet wird. Es handelt sich hierbei um den Graphen einer anderen beliebigen linearen Funktion.[br][/*][/list]
Eigenschaften einer quadratischen Funktion - Didaktischer Kommentar
Kurzbeschreibung
Bei dieser Aktivität handelt es sich um eine Veranschaulichung einiger Eigenschaften von quadratischen Funktionen. Wird diese Aufgabe mithilfe digitaler Medien bearbeitet, müssen die Schülerinnen und Schüler dazu in der Lage sein, die Koeffizienten korrekt zu interpretieren, indem sie durch Bewegen der Schieberegler, die Eigenschaften nachweisen müssen. Somit kann die Aufgabe trotz Hoch- und Tiefpunkt bereits in der 10. Schulstufe verwendet werden.
Kompetenzen
Die Schülerinnen und Schüler können ... [list][*]die allgemeine Form der Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion angeben.[/*][*]die Koeffizienten einer quadratischen Funktion interpretieren.[/*][*]den Graphen einer quadratischen Funktion zeichnen und deuten.[/*][*]Eigenschaften eines Graphens einer quadratischen Funktion mithilfe der Koeffizienten thematisieren. [br][/*][/list]
Materialien
[url=https://www.geogebra.org/m/bbpn2qps]Online Arbeitsblatt für Schülerinnen und Schüler[/url]
Kopiervorlage für Schülerinnen und Schüler
Lösungen
[list][*]Bei Aussage [b]C[/b] handelt es sich um die Zielaussage in Form der allgemeinen Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion mit den Koeffizienten [math]a,b,c\in\mathbb{R}[/math] samt dynamischem Schaubild mit Schiebereglern. [br][br][/*][*]Aussage [b]D[/b] hat dieselbe mathematische Bedeutung wie die Zielaussage C, da es sich hier um eine Eigenschaft des Scheitelpunkts der Parabel handelt, indem der Koeffizient [math]a[/math] entweder positiv oder negativ ist. Es liegt lediglich eine andere Darstellungs- bzw. Repräsentationsform vor.[br][br][/*][*]Aussage [b]E [/b]teilt ebenfalls dieselbe mathematische Bedeutung wie die Zielaussage C, da die Tatsache angeführt ist, dass für den Koeffizienten [math]c=0[/math] gilt, dass der Graph mindestens einen Schnittpunkt mit der [math]x[/math]-Achse aufweist. Es handelt sich wieder um eine andere Darstellungs- bzw. Repräsentationsform bezüglich der Zielaussage C. [br][br][/*][*]Aussage [b]A[/b] hat nicht dieselbe mathematische Bedeutung wie die Zielaussage C, da hier eine Polynomfunktion 4. Grades samt dynamischem Schaubild für die Koeffizienten angeführt ist. Diese Aussage erscheint jedoch in derselben Darstellungs- bzw. Repräsentationsform wie die Zielaussage C. [br][br][/*][*]Aussage [b]B[/b] hat nicht dieselbe mathematische Bedeutung wie die Zielaussage C, da diese Aussage korrekterweise lauten müsste: [i]Für [math]b=0[/math] ist der Graph der Funktion symmetrisch zur [math]y[/math]-Achse.[/i] Diese Aussage verwendet nicht dieselbe Darstellungs- bzw. Repräsentationsform wie die Zielaussage C, da hier eine andere Art von Zeichensystem verwendet wird. [br][br][br][br][/*][/list]
Nullstellen und Krümmung einer linearen Funktion - Didaktischer Kommentar
Kurzbeschreibung
Diese Aktivität erfordert die Kenntnis vieler Eigenschaften zu funktionalen Abhängigkeiten von den Schülerinnen und Schülern. Deswegen sollte diese Aufgabe wohl überlegt eingesetzt werden, wenn tatsächlich alle vorkommenden Inhalte zuvor schon genügend behandelt wurden, da ansonsten die Lernenden schnell die Motivation zur Bearbeitung dieser Aufgabe verlieren können. Wichtig sind hier die Begrifflichkeiten Krümmungsverhalten, Steigung, Nullstellen, Funktionswert und Argument einer linearen Funktion.
Kompetenzen
Die Schülerinnen und Schüler können ...[list][*]die allgemeine Form der Funktionsgleichung einer linearen Funktion angeben und interpretieren. [/*][*]das Verhalten der Krümmung vom Graphen einer linearen Funktion deuten.[/*][*]die Steigung [math]k[/math] einer linearen Funktion anhand zweier gegebener Punkte des Graphens berechnen.[/*][*]das Verhalten bezüglich der Nullstellen einer linearen Funktion erklären.[/*][*]angeben, dass sich der Funktionswert immer um den konstanten Wert [math]k[/math] ändert, wenn das Argument um 1 erhöht wird.[br][/*][/list]
Materialien
[url=https://www.geogebra.org/m/ycrbczan]Online Arbeitsblatt für Schülerinnen und Schüler[/url]
Kopiervorlage für Schülerinnen und Schüler
Lösungen
[list][*]Bei Aussage [b]B[/b] handelt es sich um die Zielaussage in Form der allgemeinen Funktionsgleichung einer linearen Funktion samt dynamischem Schaubild mit Schiebereglern. [br][br][/*][*]Aussage [b]C[/b] hat dieselbe mathematische Bedeutung wie die Zielaussage B, da es sich hier lediglich um eine andere Darstellungs- bzw. Repräsentationsform handelt. Es wird eine Eigenschaft über das Krümmungsverhalten des Graphen einer linearen Funktion thematisiert. [br][br][/*][*]Aussage [b]E[/b] teilt ebenfalls dieselbe mathematische Bedeutung wie die Zielaussage B, es handelt sich hier um die äquivalente Darstellungs- bzw. Repräsentationsform, da dieselbe Art von Zeichensystem verwendet wird. Diese Aussage lässt die Steigung einer linearen Funktion anhand zweier gegebener Punkte berechnen. [br][br][/*][*]Aussage [b]D[/b] hat nicht dieselbe mathematische Bedeutung wie die Zielaussage B, da diese Aussage für eine lineare Funktion nicht wahrheitsgemäß ist, denn: der Funktionswert ändert sich immer um den konstanten Wert [math]k[/math], wenn das Argument um 1 erhöht wird. Diese Aussage erscheint in derselben Darstellungs- bzw. Repräsentationsform wie B. [br][br][/*][*]Aussage [b]A[/b] hat nicht dieselbe mathematische Bedeutung wie die Zielaussage B, da diese Aussage nicht stimmt für eine lineare Funktion. Eine lineare Funktion hat immer genau eine Nullstelle. Diese Aussage verwendet nicht dieselbe Darstellungs- bzw. Repräsentationsform wie die Zielaussage, da hier eine andere Art von Zeichensystem verwendet wird. [br][/*][/list]