[b]線形[/b]という言葉に違和感があります？[br]イメージがわきますか？[br][br][b][size=150]簡単にいうと[color=#0000ff]線形[/color]というのは、[color=#0000ff]比例のこと、[br][u]原点を通る[/u]まっすぐな点集合、平らな線[/color]（のあつまりとしての面）[br]ということです。[/size][/b][br]１個５０円の品物をｘ個買うときの代金をｙ円としましょう。[br]すると、（個数、代金）の行ベクトルをならべると、[br]a=(1,50),b=(2,100),c=(3,150),d= (5,250),[b]0[/b]=(0,0)などができますね。[br]a+b=cや、d=5a、[b]0c=0[/b]などが言えます。[br]つまり、このデータ空間の中では、互いに[u]たし算や定数倍ができ、零ベクトルを持ってます[/u]。[br]このようなデータ空間、とても当たり前に足し算とナントカ倍ができるのです。[br][br]しかし、１辺の長さがｘの正方形の面積をｙとするとどうでしょうか。[br](一辺、面積）の行ベクトルをならべると、[br]a=(1,1), b=(2,4), c=(3,9),d=(5,25),[b]0[/b]=(0,0)などができますね。[br]a+b=(3,5)は一辺と面積の関係の世界からはみ出します。5a=(5,5)もそうです。[br]かろうじて、[u][b]0c=0[/b][/u]だけは言えます。[br]たし算も定数倍も使えない関係の世界、空間だとわかります。[br]空間の中の各成分ごとの和の影響がちがっている、空間が歪んているということなのです。[br]なにしろ、ベクトルの和の法則、２ベクトルを辺とする対角線になる、が成り立たないのですから。[br][br]前者のように、空間の中の要素を自由にたし算、ナントカ倍しても、その空間の要素であり続ける。[br]空間が閉じているとき、空間のことを[color=#0000ff][b]「線形」[linear][/b][/color]というんだ。[br][br]これを導入として、[b][size=200][color=#0000ff]ベクトルの再定義[/color][/size][/b]をしてみましょう。[br]ベクトルを[br]公理と定理の関係性として、[br][color=#0000ff][b][size=150]空間（構造を持った集合）[/size][/b][/color]として[br]とらえることにチャレンジします。[br][br]実数[i]R[/i]上の[color=#0000ff][b][size=150]線形空間（ベクトル空間）[/size][/b][/color]とは、[br]次の定義要件と性質要件を満足する集合[b]V[/b]である。[br][color=#0000ff][b]（定義要件）[/b][/color]集合[b]V[/b]について、要素[b]a,b[/b]について、[br]　①和 [b]a [/b]+ [b]b [/b]は、[b]V[/b]の要素だ。[br]　②スカラー倍 [i]k[/i] [b]a[/b]（ｋは[i]R[/i]の要素）は、[b]V[/b]の要素だ。[br][color=#0000ff][b]（性質要件）[/b][/color][br]　①和の性質（[color=#0000ff]結合法則、交換法則、ただ１つの零元の存在、ただ１つの逆元の存在[/color]）[br]　②スカラー倍の性質（[i]１[/i][b]a [/b]= [b]a[/b] , [i]k[/i]( [b]a[/b] + [b]b[/b]) = [i]k[/i][b]a[/b] + [i]k[/i][b]b[/b], ([i] k [/i]+ [i]l[/i] )[b]a[/b]= [i]k[/i][b]a[/b] + [i]l[/i][b]a[/b], ([i]kl[/i])[b]a[/b]=k([i]l[/i][b]a[/b]) ）[br][br]（例）実数Rを成分とする４次元ベクトルの集合[b][size=150]R[sup]4[/sup]は線形空間[/size][/b]だ。[br]　和もスカラー倍は各次元の成分の和やスカラー倍に落とし込める。[br]　実数では和も定数倍も定義されるし、和の性質もスカラー倍の性質も満たすから。

要素のつながりは２色に分けられる。[br]そのためには線形結合を定義しよう。[br]各要素のスカラ倍の和を線形結合（１次結合）という。[br]命題P「実数R上の線形空間Vの４要素[b]a,b,c,d[/b]についての線形結合が零元に等しい[br][i]　　p[/i][b]a[/b]+[i]q[/i][b]b[/b]+[i]r[/i][b]c[/b]+[i]s[/i][b]d[/b]＝[b]０　」[br][/b]命題Pが成り立つのが[b][size=150][color=#0000ff]スカラーがすべて０のときに限る[/color][/size][/b]とき[b]a,b,c,dは[color=#0000ff][size=150]線形独立[/size][/color]という。[br][/b][u][color=#0000ff]線形独立ならば、どの要素もほかの要素に依存した形（線形結合）で表現することはできない[/color][/u]。[br]命題Pが成り立つのがスカラーがすべて０とは限らないとき[b]a,b,c,dは線形従属という。[br][/b][color=#0000ff][u]線形従属ならば、ほかの要素に依存した形（線形結合）で表現できる要素が１つはある[/u][/color]。[br]a,b,c,dが線形独立なだけでなく、Vのどの要素もa,b,c,dの線形結合で表すことができるとき、[br]a,b,c,dを線形空間Vの[color=#0000ff][b]基底ベクトル[/b][/color]、または、単に[b][size=150][color=#0000ff]基底、基[base][/color][/size][/b]という。[br][b]基底の数[/b]を空間Vの[size=150][b]次元[dimension][/b][color=#0000ff][size=100]と言い、[/size][/color][b]dimV[/b][size=100]とかく[b]。[/b][/size][/size][br][color=#0000ff]（例）[/color][br]たとえば、３つのベクトルa,b,cをうまく選ぶと、３次元空間R3のすべてのベクトルは[br]３ベクトルa,b,cの線形結合で表現できるから、[b]a,b,c[/b]は[color=#0000ff]基底[/color]だといえるね。[br]特に、空間のx軸、ｙ軸、ｚ軸の単位ベクトル[b]e1,e2,e3[/b]は[b]標準基底[/b]といったりする。[br]基底ベクトルはどちらにしても３つだから、次元数dim R[sup]3[/sup]＝３だ。[br]論点先取りのようだが、[br]結局dimは、[br]次元を「線形空間の[b]線形独立のベクトルの最大数[/b]」として明確化したものだとも言えるね。[br][br]ここで、｛たて、よこ、高さ、合計｝={a,b,c,d}の４列の[color=#9900ff][b]宅急便向けの寸法の行ベクトル[/b][/color]を思い出そう。[br]たて、よこ、高さの１の単位ベクトル[b]e1,e2,e3[/b][br]を標準基底とすると、合計d=[i]a[/i][b]e1[/b]+[i]b[/i][b]e2[/b]+[i]c[/i][b]e3[br][/b]このように、合計は３つのベクトルの線形結合で表せるから、[br][color=#9900ff][b]宅急便のベクトル空間は、４列あるが３次元のベクトル空間になる。[/b][/color]

線形空間Vの[b]部分集合W[/b]について、[br]その要素たちが和とスカラー倍で閉じてWにおさまるときがあるね。[br]その場合、[b]W自身が線形空間[/b]になっている。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]たとえば、空間の中の平面、平面の中の直線などの部分は線形部分空間だね。[br][br]次は、[br]できる空間に着目するのではなく、それを作る独立な元に着目してみよう。[br][b]原点を通る直線[/b]は１つの方向ベクトルで作られる。[br][b]原点を通る平面[/b]は２つの独立なベクトルで生成される、張られる。[br]３Dの空間は３つの独立なベクトルで生成される。[br]このように線形空間を生成する独立な元を、[b]生成元[/b]といい、[b]生成される空間[/b]は、[br][b]張られる空間[/b]とも言いますね。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]３つのベクトルで生成される部分空間Wを考える。[br]線形結合＝零ベクトルの自明でない解があるとき、線形従属になる。[br][color=#0000ff]行列のランクが２なら２つのベクトルだけでWを張る[/color]ことができる。[br]Wは原点を通る平面だね。[br]行列のランクが１なら１つのベクトルだけでWを張ることができる。[br]Wは原点を通る直線だね。[br]線形結合＝零ベクトルの自明でない解がないなら、線形独立。[br]だから、Wは３次元空間と同一になる。[br]（例）[br]線形空間R[sup]3[/sup]の元ｘで連立方程式[br]x +y -z =0[br]x +2y +z =0の[br]解空間Wは線形部分空間になる。[br]なぜなら、[br]係数行列A=[br]{{1, 1, -1}[br] {1, 2, 1}[br]A[sub]2←1(-1)[/sub][br]{{1, 1, -1}[br] {0, 1, 2}[br]A[sub]1←2(-1)[br][/sub]{{1, 0, -3}[br] {0, 1, 2}[br]だから、[br]x -3z =0[br]y +2z =0の[br]z=kとおくと、(x,y,z)=(3k -2k, k) (k∈R)[br][b]d[/b]=(3,-2,1)とおくと、[br][b]W[/b]={ x= k[b]d[/b] ∈R[sup]3[/sup] | k∈R｝とおける。[br][b]u,v [/b]∈[b]W[/b]とすると、[b]u[/b]=p[b]d[/b], [b]v[/b]=q[b]d[/b]となるp,q∈Rがある。[b][br]u+v[/b]=(p+q)[b]d [/b]∈[b]W[/b][br]r[b]u[/b]=rp[b]d[/b]=(rp)[b]d [/b]∈[b]W[/b][br]特に、p=0のとき、[b]u[/b]=0[b]d[/b]=[b]0 [/b]∈[b]W[/b][br]だから、解空間WはR[sup]3[/sup]の部分線形空間になる。

Rｎの連立方程式の解空間Wの基底と次元を求めてみよう。[br]例えば、[br][color=#0000ff]ｘ={x1,x2,x3,x4,x5}∈R[sup]５[/sup]として、[br]A＝[br]{{1, 0, 2, 0, -1},[br]{2, 1, 3, 0, -1},[br]{-1, 0, -2, 1, 3},[br]{0, 1, -1, 0, 1}}に対する解空間W＝｛ｘ｜Aｘ＝０｝[br][/color]A[sub]2←1(-2)[/sub], A[sub]3←1[/sub][br]{{1, 0, 2, 0, -1}[br]{0, 1, -1, 0, 1},[br]{0 , 0, 0, 1, 2},[br]{0, 1, -1, 0, 1}}[br]A[sub]4←2(-1)[/sub][br]{{1, 0, 2, 0, -1}[br]{0, 1, -1, 0, 1},[br]{0 , 0, 0, 1, 2},[br]{0, 0, 0, 0, 0}}[br]n-rankA=5 - 3=2の自由度だから、Wは異なる２ベクトルが張る解空間。dimW=2[br]０でない行の[b]主成分が１になるところは、他の成分で表現できるからとりあえずスルーする[/b]。[br][b]主成分がない列[/b]は左から３列，５列だから、x3=p, x5=qとおこう。[br]p,qを使って、最後の階段行列で、x1,x2,x4を表してみよう。[br]１行目: x1 +2p -q=0 から、x1=-2p +q[br]２行目: x2 -p +q=0 から、x2=p-q[br]３行目: x4 +2q =0　から、 x4=-2q[br]これから、[br]x=[math]\left(\begin{matrix}-2p+q\\p-q\\p\\-2q\\q\end{matrix}\right)=p\left(\begin{matrix}-2\\1\\1\\0\\0\end{matrix}\right)+q\left(\begin{matrix}1\\-1\\0\\-2\\1\end{matrix}\right)=p\vec{u}+q\vec{v}[/math]　ｘはu,vで生成できる。[br]また、x=[b]0[/b]となるのは、p=q=0に限るからu,v は１次独立（線形独立）.[br][br]ここで、またまた、｛たて、よこ、高さ、合計｝={a,b,c,d}の４列の宅急便向けの寸法の行ベクトルを思い出そう。たて、よこ、高さの１の単位ベクトル[b]e1,e2,e3[/b]を標準基底とすると、合計d=[i]a[/i][b]e1[/b]+[i]b[/i][b]e2[/b]+[i]c[/i][b]e3[br][/b]このように、合計は３つのベクトルの線形結合で表せるから、[br]宅急便のベクトル空間は、４列あるが３次元のベクトル空間になったね。[br][br]このWという空間は成分が５列もあるけど、２つのベクトルを基底とすると、ただの２次元の平面上の[br]点になるということだね。[br][b][size=150][color=#9900ff]見かけ上の列数が５つあっても、つながり具合をさぐることで、[br]実は単純な仕組みになっていることがわかる[br]というのが線形代数の面白さだね！[/color][/size][/b][br]

線形空間・ベクトル空間の具体的なイメージを感じられるようになると、[br]そのイメージを抽象化することで、使える範囲を広げたくなる。[br][br]まず、使う数は、スカラーと呼んで、実数のことだとしていた。[br]その数は[b][color=#0000ff]和とスカラー倍[/color][/b]で閉じていればよかったね。[br][br][b][size=150]＜スカラーの拡張＞[/size][/b][br]実数のように四則計算が自由にできる数を[b]体[number field, body, system][/b]というね。[br]だから、[b]実数[Real Number][/b]は実数体ともいい、[math]\mathbb{R}[/math]、[b]R[/b]とか表記することが多い。[br]他にも、複素数体もあり、[b]C、[math]\mathbb{C}[/math][/b] とか書く。[br][br][b][size=150]＜ベクトルの拡張＞[br][/size][/b][color=#0000ff]（例）[/color][br]数ベクトルの空間は次元が３に限らず、ｎ次元でもルール上はできるはずだね。[br]使う数の範囲をRとすると、[b][size=150][color=#0000ff]ｎ次元実ベクトル空間はR[sup]n[/sup]とかこう。[/color][/size][/b][br]ｎ次元複素ベクトル空間は[b]C[sup]n[/sup][/b]とかける。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]多項式の係数だけ取り出してみよう。[br]２ｘ[sup]2[/sup]+３ｘ＋１は係数を並べて、[2,3,1]と、[br]ｘ[sup]2[/sup] -5x+6は係数を並べて、[1,-5,6]とかける。[br]だから、多項式もベクトルの表示ができるし、和も定数倍でも閉じていることは自明だから、[br]多項式全体はベクトルになるね。[br][color=#0000ff][b][size=150]実数係数のｎ次の多項式のベクトル空間はR[x][sub]n[/sub]とかこう。[br]すると、3次多項式全体はR[x][sub]3[/sub]とかけるね。[br][/size][/b][/color][color=#0000ff]（例）[/color][br]また、区間（０，１）で[color=#0000ff][b]連続な[Continuous][/b][/color]関数はたし算、定数倍をしても連続なままだから、[br]定義上はベクトルの要件を満たしているね。もちろん、この場合のベクトルの成分はイメージしにくいが、ルール上はOKだね。[size=150][size=100]区間（a,b)で連続な関数全体は[b]C(a,b)[/b]とかこう。[br][/size][b][size=150][br]＜線形部分空間＞[br][/size][/b][b]線形空間（ベクトル空間）は[br]和とスカラー倍が閉じることが必要なだけでなく、０がないといけない。[br]この３条件で部分集合も線形（ベクトル）空間になるね。このとき、線形部分空間という。[br][/b][/size][color=#0000ff]（例）[/color][br]W1={f(x)∈R[x][sub]3[/sub] | f(1)=0, f(-1)=0} [br]・W１の要素ｚ＝０＝０・ｘについて、z(1)=z(-1)=0となるからW1にｚはある。[br]・W1の要素ｆ，ｇについて、fもｇも１と−１のとき０となる。(f+g)は１でも−１でも０＋０＝０で[br] 条件にあうから、W1で閉じている。[br]・W1の要素fと、Rの要素ｋについて、(kf)(1)=kf(1)=k0=0, (kf)(-1)=kf(-1)=k0=0。kfはW1で閉じている。以上からW1は線形（ベクトル）空間の部分空間[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]W２={f(x)∈R[x][sub]3[/sub] | f(1)=1} [br]・W２の要素ｚ＝０＝０・ｘについて、z(1)=1が必要なのに、ｚはそれを満たさない。W２に０がない。[br]だから、W２は線形（ベクトル）空間の部分空間ではない。[br][br][b][size=150]＜多項式の集合とランク＞[br][/size][/b][b][color=#0000ff]３次の多項式全体R[x][sub]3[/sub][/color][/b]を考える。[br][br]その[color=#0000ff]１次独立なベクトル[1,x,x[sup]2[/sup],x[sup]3[/sup]]の一次結合[/color]で多項式を表してみよう。[br]たとえば、ｆ(x)＝3x[sup]2[/sup]+x+1=1+x+3x[sup]2[/sup]+0x[sup]3[/sup]=[1,x,x[sup]2[/sup],x[sup]3[/sup]]t{1,1,3,0}とかけるね。[br]かんたんのために行ベクトルで[1,1,3,0]かく。[br]こうしてあらわすことにして、５つの多項式の関係性をさぐってみよう。 [br] [math]p=\left[\begin{matrix}1\\1\\3\\0\end{matrix}\right],q=\left[\begin{matrix}1\\2\\0\\-1\end{matrix}\right],r=\left[\begin{matrix}1\\3\\-3\\-2\end{matrix}\right],s=\left[\begin{matrix}-2\\-4\\1\\-1\end{matrix}\right],t=\left[\begin{matrix}-1\\-4\\7\\0\end{matrix}\right][/math] とする。[br]行列Aを使ってまとめて書こう。[br][b][1,x,x[sup]2[/sup],x[sup]3[/sup]]A=0[/b]として、5つのベクトルの関係式を作ろう。[br][b]A=[p,q,r,s,t]={[br]{1,1,1,-2,-1},[br]{1,2,3,-4,-4},[br]{3,0,-3,1,7},[br]{0,-1,-2,-1,0}}[br][/b]Aに掃き出し法を使い、簡単な階段行列にする。[br]→ 2,3行目に１行目の定数倍をたして１列目を０にする。[br]{{1,1,1,-2,-1}, [br]{0,1,2,-2,-3},[br]{0,-3,-6,7,10},[br]{0,-1,-2,-1,0}}[br]→1,3,4行目に２行目の定数倍をたして２列目を０にする。[br]{{1,0,-1,0,2},[br]{0,1,2,-2,-3},[br]{0,0,0,1,1},[br]{0,0,0,-3,-3}}[br]→2,4行目に３行目の定数倍をたして4列目を０にする。[br][b]{{1,0,-1,0,2},[br]{0,1,2,0,-1},[br]{0,0,0,1,1},[br]{0,0,0,0,0}}=Bとしよう。[br]Bのランクは３だから、１次独立なベクトルは３つあるはずだね。[br][br]B=[a,b,c,d,e][br][math]a=\left[\begin{matrix}1\\0\\0\\0\end{matrix}\right],b=\left[\begin{matrix}0\\1\\0\\0\end{matrix}\right],c=\left[\begin{matrix}-1\\2\\0\\0\end{matrix}\right],d=\left[\begin{matrix}0\\0\\1\\0\end{matrix}\right],e=\left[\begin{matrix}2\\-1\\1\\0\end{matrix}\right][/math]としよう。[br][br][/b]だから、[b]a,b,dは３つの１次独立なベクトル[/b]になるね。[br]cは(-1)a+2b,eは2a+(-1)b+1dと表現できるので、従属だ。[br]もとの多項式で確認する。[br] [math]p=\left[\begin{matrix}1\\1\\3\\0\end{matrix}\right],q=\left[\begin{matrix}1\\2\\0\\-1\end{matrix}\right],r=\left[\begin{matrix}1\\3\\-3\\-2\end{matrix}\right],s=\left[\begin{matrix}-2\\-4\\1\\-1\end{matrix}\right],t=\left[\begin{matrix}-1\\-4\\7\\0\end{matrix}\right][/math] [br][br]がa,b,c,d,eに対応している。[br]だから、[b][color=#0000ff]p,q,sが１次独立なベクトル[/color][/b]になるはず。[br]r=-p+2q=-[1,1,3,0]+2[1,2,0,-1]=[1,3,-3,-2]となる。[br]t=2p-q+s=2[1,1,3,0]-[1,2,0,-1]+[-2,-4,1,-1]=[-1,-4,7,0]となるね。