[b][size=100][size=150][color=#999999]このページは電子ブック「[i][url=https://www.geogebra.org/m/a4dwkkhh]探求　数学Ⅲ[/url]」の一部です[/i]。[/color][br][/size][/size][/b]

[b][size=150]＜等差型＞[/size][/b][br][b]a[/b][sub]n+1[/sub][b]=a[/b][sub]n[/sub][b]+dならば、a[/b][sub]n[/sub][b]=a[/b][sub]1[/sub][b]+d(n-1)[br][/b][color=#0000ff]（例）[br][/color]geogebraでa1=1,a[sub]n+1[/sub]=a[sub]n[/sub]+5の100番目までを調べるには、[br]f(a)=a+5と関数定義して、an=IterationList(f,1,100)とすればよいね。[br]nを変化させる場合は、nをスライダー変数として定義しておき、[br]an=IterationList(f,1,n)とすればよいね。そのつどのnのときanを得るには[br]an(n)とｎ番目のElementをゲットしよう。[br][size=150][b]＜等比型＞[/b][br][/size][b]a[/b][sub]n+1[/sub][b]=r・a[/b][sub]n[/sub][b]ならば、a[/b][sub]n[/sub][b]=a[/b][sub]1[/sub][b]×ｒ[/b][sup](n-1)[br][/sup][color=#0000ff]（例）[br][/color]geogebraでa1=1,a[sub]n+1[/sub]=a[sub]n[/sub][b]×[/b]5の100番目までを調べるには、[br]f(a)=a[b]×[/b]5と関数定義して、an=IterationList(f,1,100)とすればよいね。[br][br][b][size=150]＜階差型＞[/size][/b][br][b]a[sub]n+1[/sub]=a[sub]n[/sub]+f(n)ならば、a[sub]n[/sub]=a[sub]1[/sub]+∑[sup]n-1[/sup]f(k)[br][/b][color=#0000ff]（例）[/color][br]「a[sub]1[/sub]=0, a[sub]n+1[/sub]-a[sub]n[/sub]=(1/2)[sup]n[/sup]の一般項と極限値」は？[br]b[sub]n[/sub]=a[sub]n+1[/sub]-a[sub]n[/sub]とおくと、∑b[sub]k[/sub]=a[sub]n+1[/sub]-a[sub]n[/sub]+a[sub]n[/sub]-a[sub]n-1[/sub]+.....+a[sub]2[/sub]-a[sub]1[/sub]=a[sub]n+1[/sub]-a[sub]1[/sub]=a[sub]n+1[/sub][br]一方で、∑b[sub]k[/sub]=∑1/2・(1/2)[sup]n[/sup]=1/2・(1-(1/2)[sup]n[/sup])/(1-1/2)=1-(1/2)[sup]n[br][/sup]だから、an=1-(1/2)[sup]n-1[/sup]→1に収束する。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「A1は面積１の正三角形。A[sub]n+1[/sub]はA[sub]n[/sub]のすべての辺の３等分した中央の線分上に正三角形を追加した[br]フラクタル図形。S[sub]n[/sub]はA[sub]n[/sub]の面積とするとき、Snの極限値」は？[br]Anで追加する正三角形の面積をa[sub]n[/sub],辺の数をb[sub]n[/sub]とすると、a[sub]n+1[/sub]=(1/9)a[sub]n[/sub]。b[sub]n+1[/sub]=4b[sub]n[/sub][br]S2-S1=3･(1/9)、S3-S2=3･4･(1/9)[sup]2[/sup]、S4−S3=3･4[sup]2[/sup]･(1/9)[sup]3[/sup]、......S[sub]n+1[/sub]-S[sub]n[/sub]=3･4[sup]n-1[/sup]･(1/9)[sup]n[/sup]。[br]∑(Sk+1-Sk)=Sn+1-S1=∑3(1/9)(4/9)[sup]k-1[/sup]。これから、[br]Sn=S1+1/3(1-(4/9)[sup]n-1[/sup])/(1-4/9)=1+3/5(1-(4/9)[sup]n-1[/sup])→1+3/5=[b][color=#0000ff]1.6に収束[/color][/b]する。[br][b][size=150]＜分数形＞[br][/size][/b]分数形は小さい数で実験して予測してみよう。[br]（例）[br]「関数[math]f\left(x\right)=\frac{4x-9}{x-2}[/math] でa[sub]1[/sub]=5,a[sub]n+1[/sub]=f(a[sub]n[/sub])とし、bn=[math]\frac{a_1+2a_2+....+na_n}{1+2+...+n}[/math]　n→∞のときのbnの極限」は？[br]f(x)=[math]4-\frac{1}{x-2}[/math] と変形して、順次計算してみる。[math]a_2=4-\frac{1}{3}=\frac{11}{3}。a_3=4-\frac{3}{5}=\frac{17}{5}。a_4=4-\frac{5}{7}=\frac{23}{7}[/math]。[br]これから、[math]a_1=4-\frac{-1}{1},a_n=4-\frac{2n-3}{2n-1}=\frac{6n-1}{2n-1}[/math] と予想できるね。[br][math]bn=\frac{\sum ka_k}{\sum k}[/math] だが、[b]ka[sub]k[/sub][/b]=[math]\frac{6k^2-k}{2k-1}=3k+1+\frac{1}{2k-1}[/math] ([b]整式の割り算で帯分数[/b]にできる）[br]だから、[math]b_n=\frac{\sum\text{（}3k+1+\frac{1}{2k-1}\text{）}}{\sum\text{ｋ}}\text{＝}\text{３}\frac{\sum\text{ｋ}}{\sum\text{ｋ}}\text{＋}\frac{\text{\sum１}}{\sum\text{ｋ}}\text{＋}\frac{\sum\frac{1}{2k-1}}{\sum k}\le3+\frac{2n}{n\left(n+1\right)}+\frac{2\sum1}{n\left(n+1\right)}=3+\frac{2\cdot2}{n\left(n+1\right)}[/math][br][math]lim_{n\rightharpoonup\infty}b_n=3+0=3[/math][br][color=#0000ff]（参考）分数数列[/color][color=#0000ff]anの一般項の求め方[/color][br]もしもa[sub]n[/sub]が収束するとしたら、n番目もn+1番目も同じになるはずで、極限値をxとしよう。[br][math]x=\frac{4x-9}{x-2}[/math] から、x[sup]2[/sup]-2x=4x-9。x[sup]2[/sup]-6x+9=(x-3)[sup]2[/sup]=0 。そこで、c[sub]n[/sub]=a[sub]n[/sub]-3とすると、c[sub]1[/sub]=a[sub]1[/sub]-3=2。[br]c[sub]n+1[/sub]=a[sub]n+1[/sub]-3=[math]\frac{4a_n-9}{a_n-2}-3=4+\frac{-1}{a_n-2}-3=1+\frac{-1}{a_n-2}=1+\frac{-1}{\left(a_n-3\right)+1}=1+\frac{-1}{c_n+1}[/math] [br]これから、[math]c_{n+1}=\frac{c_n}{c_n+1}[/math]。逆数をとると、[math]\frac{1}{c_{n+1}}=\frac{c_n+1}{c_n}=1+\frac{1}{c_n}[/math] ,[math]\frac{1}{c1}=\frac{1}{2}[/math] 。[br]これから、{1/cn}は初項1/2、公差1の等差数列だから、1/cn=1/2+n-1=n-1/2。[br]一般項はa[sub]n[/sub]=c[sub]n[/sub]+3=[math]\frac{1}{n-\frac{1}{2}}+3=\frac{2}{2n-1}+3=\frac{6n-1}{2n-1}。[/math][br]

[b][size=150]＜２項間の漸化式＞[br][/size][/b]特性方程式は数列の項をｘやｔに置き換えたもので、式変形に応じた係数を求めるためのものだ。[br]たとえば、[color=#0000ff][b]a[sub]n+1[/sub]=p・a[sub]n[/sub]+q[/b][/color]という漸化式を等比型b[sub]n+1[/sub]=r b[sub]n[/sub]に変形したいとしよう。[br]・[color=#0000ff][b]特性方程式を使わないとき[/b][/color][br]b[sub]n[/sub]=a[sub]n[/sub]-α, b[sub]n+1[/sub]=a[sub]n+1[/sub]-αを代入する。a[sub]n+1[/sub]-α=r(a[sub]n[/sub]-α) a[sub]n+1[/sub]=r･an-α(r-1)。[br]係数比較すると、r=p, q=-α(r-1)から、[color=#0000ff][b]α=q/(1-p)[/b][/color]となる。[br]・[color=#0000ff][b]特性方程式を使うとき[br][/b][/color]t=pt+qとすると、[color=#0000ff][b]t=q(1-p)[/b][/color]となる。[br][b]・どちらにしてもb[sub]n[/sub]=a[sub]n[/sub]-q/(1-p)とおくと、b[sub]n+1[/sub]=p･b[sub]n[/sub]となることがわかる。[br][/b]つまり、a[sub]n+1[/sub]-q/(1-p)=p(a[sub]n[/sub]-q/(1-p)) =p[sup]n[/sup](a[sub]1[/sub]-q/(1-p))[br][color=#0000ff][b]a[sub]n+1[/sub]=q/(1-p)+p[sup]n[/sup](a[sub]1[/sub]-q/(1-p))[br][/b]（例）[br][/color]「a1=1,a[sub]n+1[/sub]=(1/2)a[sub]n[/sub]+1のanの極限値」は?[br]　α=1/(1-1/2)=2。an+1=2+(1/2)[sup]n[/sup](a[sub]1[/sub]-2)=2-(1/2)[sup]n[/sup]→2に収束する。[br][b][size=150]＜３項間の漸化式＞[br][/size][/b]たとえば、a[sub]n+2[/sub]+pa[sub]n+1[/sub]+qa[sub]n[/sub]=0を等比型b[sub]n+1[/sub]=βb[sub]n[/sub]に変形したいとしよう。[br]・[color=#0000ff][b]特性方程式を使わないとき[/b][/color][br]b[sub]n[/sub]=a[sub]n+1[/sub]-αa[sub]n[/sub], b[sub]n+1[/sub]=a[sub]n+2[/sub]-αa[sub]n+1[/sub]を代入する。a[sub]n+2[/sub]-αa[sub]n+1[/sub]=β(a[sub]n+1[/sub]-αa[sub]n[/sub]) [br]a[sub]n+2[/sub]-(α+β)a[sub]n+1[/sub]+αβa[sub]n[/sub]=0 係数比較すると、p=-(α＋β） q=αβから、[br]αとβはｔ[sup]2[/sup]＋pt+q=0の解となる。[br]・[color=#0000ff][b]特性方程式を使うとき[br][/b][/color]t[sup]2[/sup]+pt+q=0とすると、[color=#0000ff][b]t=α、β[/b][/color]となったとする。αとβは対等だから、次の２式ができる。[br][color=#0000ff][b]a[sub]n+2[/sub]-αa[sub]n+1[/sub]=β(a[sub]n+1[/sub]-αa[sub]n[/sub]),　a[sub]n+2[/sub]-βa[sub]n+1[/sub]=α(a[sub]n+1[/sub]-βa[sub]n[/sub])[br][/b][/color]これから[br]a[sub]n+2[/sub]-αa[sub]n+1[/sub]＝β[sup]n[/sup](a[sub]2[/sub]-αa[sub]1[/sub])=kとおく→βa[sub]n+2[/sub]-αβa[sub]n+1[/sub]＝kβ [br]a[sub]n+2[/sub]-βa[sub]n+1[/sub]＝α[sup]n[/sup](a[sub]2[/sub]-βa[sub]1[/sub])=lとおく→αa[sub]n+2[/sub]-αβa[sub]n+1[/sub]＝lα。[br]片々の差は(βa[sub]n+2[/sub]-αa[sub]n+2[/sub])=kβ-lα。a[sub]n+2[/sub]=(kβ-lα)/(β-α)。[br][b][color=#0000ff]a[sub]n+2[/sub]=(β[sup]n+1[/sup](a[sub]2[/sub]-αa[sub]1[/sub])-α[sup]n+1[/sup](a[sub]2[/sub]-βa[sub]1[/sub]))/(β-α)[br][/color][/b][color=#0000ff]（例）[br][/color]「a[sub]1[/sub]=０，a[sub]2[/sub]=１，２a[sub]n+2[/sub]−３a[sub]n+1[/sub]＋a[sub]n[/sub]=0のanの極限値」は？[br] 2x[sup]2[/sup]-3x+1=(2x-1)(x-1)=0となるから、x=1,1/2で。[br]　a[sub]n[/sub]=((1/2)[sup]n-1[/sup](1-1･0)-(1)[sup]n-1[/sup](1-1/2･0))/(1/2-1)=((1/2)[sup]n-1[/sup]-1)/(-1/2)=2(1-(1/2)[sup]n-1[/sup])→2に収束する。[br][color=#0000ff]（例）[br][/color]geogebraでフィボナッチ数列a1=1,a2=1, a[sub]n+2[/sub]=a[sub]n+1[/sub]+a[sub]n[/sub]の[br]30番目までを調べるには、[code]an=IterationList(a + b, a, b, {1, 1}, 30)[br][/code] とするか、f(a, b)=a+bと関数定義して、an= IterationList(f, {1,1},30)などとすればよいね。[br][b][size=150]＜対称漸化式＞[/size][/b][br][color=#0000ff][b]a[sub]n+1[/sub]=pa[sub]n[/sub]+qb[sub]n[/sub]、b[sub]n+1[/sub]=qa[sub]n[/sub]+pb[sub]n[br][/sub][/b][/color]和の数列a[sub]n+1[/sub]+b[sub]n+1[/sub]=(p+q)(a[sub]n[/sub][sub][/sub]+b[sub]n[/sub])=(p+q)[sup]n[/sup](a1+b1)、差の数列a[sub]n+1[/sub]-b[sub]n+1[/sub]=(p-q)(a[sub]n[/sub]-b[sub]n[/sub])=(p-q)[sup]n[/sup](a1-b1)[br]これから、和差算をして、[br][color=#0000ff][b]a[sub]n+1[/sub]＝((p+q)[sup]n[/sup](a1+b1)+(p-q)[sup]n[/sup](a1-b1))/2、b[sub]n+1[/sub]=((p+q)[sup]n[/sup](a1+b1)-(p-q)[sup]n[/sup](a1-b1))/2[br][/b]（例）[br][/color]「a1=1,b1=2,a[sub]n+1[/sub]=3a[sub]n[/sub]+2b[sub]n[/sub],b[sub]n+1[/sub]=2a[sub]n[/sub]+3b[sub]n[/sub]の一般項」は？[br]a[sub]n[/sub]＝((3+2)[sup]n-1[/sup](1+2)+(3-2)[sup]n-1[/sup](1-2))/2=(3･5[sup]n-1[/sup]-1))/2、[br]b[sub]n[/sub]=((3+2)[sup]n-1[/sup](1+2)-(3-2)[sup]n-1[/sup](1-2))/2=(3･5[sup]n-1[/sup]+1))/2[br][color=#0000ff]（例）[br][/color]「a1=2,b1=1,a[sub]n+1[/sub]=2/3a[sub]n[/sub]-1/3b[sub]n[/sub],b[sub]n+1[/sub]=-1/3a[sub]n[/sub]+2/3b[sub]n[/sub]の極限値」は？[br]a[sub]n[/sub]＝((2/3-1/3)[sup]n-1[/sup](2+1)+(2/3+1/3)[sup]n-1[/sup](2-1))/2=((1/3)[sup]n-2[/sup]+1))/2→1/2[br]b[sub]n[/sub]=((2/3-1/3)[sup]n-1[/sup](2+1)-(2/3+1/3)[sup]n-1[/sup](2-1))/2=((1/3)[sup]n-2[/sup]-1))/2→-1/2。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「頂点を左回りにA,B,Cとする三角形ABCがあり、コインを投げて表なら左隣りに移動し、裏なら留まる。[br]　ｎ回コイン投げをしたときに頂点A,B,Cにいる確率を[math]p_n,q_n,r_n[/math]とする。[math]p_0=1,q_0=r_0=0[/math][br]　とするとき、n→∞の[math]p_n,q_n,r_n[/math]の極限値」は？[br] [math]p_n+q_n+r_n[/math]=1であることに着目する。[br]　[math]p_{n+1}=\frac{1}{2}(p_n+r_n)=\frac{1}{2}(1-q_n)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}q_n[/math]。同様にして、[math]q_n=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}r_n,r_n=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}p_n[/math]。[br]　[math]p_{n+3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}q_{n+2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}r_{n+1}\right)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}r_{n+1}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}p_n\right)=\frac{3}{8}-\frac{1}{8}p_n[/math][br] 同様にして、[math]q_{n+3}=\frac{3}{8}-\frac{1}{8}q_n,r_{n+3}=\frac{3}{8}-\frac{1}{8}r_n[/math] 。[br]　まず、[math]p_{n+3}=\frac{3}{8}-\frac{1}{8}p_n[/math] 3/8=a+(-a)(-1/8)とするとa・9/8=3/8だから、a=1/3とすれば等比形になる。[br]　[math]p_n_{+3}-\frac{1}{3}=\left(-\frac{1}{8}\right)\left(p_n-\frac{1}{3}\right)[/math] nを３で割った余りがr, 商がmなら、[math]p_n\text{＝}\frac{1}{3}\text{＋}\left(-\frac{1}{8}\right)^{\text{ｍ}}\left(p_r-\frac{1}{3}\right)[/math][br] rがどれでもn→∞ならm→∞となるから(-1/8)m→0となり、p[sub]n[/sub]の極限値は1/3。[br]　q[sub]n[/sub],r[sub]n[/sub]についても、同様にして極限値は1/3となる。[br][br]

[b][size=150]＜幅の変化＞[/size][/b][br]たとえば紙を同じ向きの辺を半分に折るという操作をくり返しとします。[br]折るたびに紙幅anはa[sub]n+1[/sub]=1/2a[sub]n[/sub]という漸化式で小さくなる。[br]もしも紙にシミがあるとしたら、そのシミの位置は端っこからの距離bnとすると、[br]いつもb[sub]n[/sub]<=a[sub]n[/sub]といえるから、b[sub]n+1[/sub]<=1/2[sub]an[/sub]という関係ができるね。[br]このように、[color=#0000ff][b]不等式でもそのキワの等式に着目すると等比型の数列[/b][/color]につながる。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「a1=4,|a[sub]n+1[/sub]-5|<=1/2|a[sub]n[/sub]-5|のときのanの極限値」は？[br]|a[sub]n+1[/sub]-5|<=1/2|a[sub]n[/sub]-5|<=(1/2)[sup]n[/sup]|4-5|→0に収束する。だから、an→5に収束する。[br][b][size=150]＜絶対値化＞[/size][/b][br]A＝Bならば、｜A｜＝｜B｜[br]|AB|=|A||B|から、絶対値記号は積のそれぞれの要素に分けられる。[br]｜１/(x[sup]２[/sup]+３)｜<=|1/3| (分母のx[sup]2[/sup]という０以上のものを取り去ると同じか大きくなる。）[br]などのように、[color=#0000ff][b]絶対値記号を使うことで、数式を単純化して幅の変化の収束に[/b][/color]持ち込める。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br]「a1=4, a[sub]n+1[/sub]=√(2a[sub]n[/sub]+3)のときのanの極限値」は？[br]t[sup]2[/sup]=2t+3から、t>0の範囲で、t[sup]2[/sup]-2t-3=(t-3)(t+1)=0からｔ＝３[br]a[sub]n+1[/sub]-3=(√(2a[sub]n[/sub]+3)-3)/1=(√(2a[sub]n[/sub]+3)-3)(√(2a[sub]n[/sub]+3)+3)/(√(2a[sub]n[/sub]+3)+3)=(2a[sub]n[/sub]-6)/(√(2a[sub]n[/sub]+3)+3)[br]a[sub]n+1[/sub]-3=2/(√(2a[sub]n[/sub]+3)+3)・(a[sub]n[/sub]-3) 　[br]この等式を絶対値化して単純な不等式にしよう。[br]|a[sub]n+1[/sub]-3|=2/(√(2a[sub]n[/sub]+3)+3)・|a[sub]n[/sub]-3| <=2/3・|a[sub]n[/sub]-3|<=(2/3)[sup]n[/sup]・|4-3|→0に収束する。[br]だから、an→３に収束。