Para determinar una ecuación vectorial de una recta se necesitan como datos las coordenadas de un punto de ella, o el vector de posición de dicho punto; y un vector que indique la dirección de la recta, que se conoce como [i]vector director.[br][br][/i]Sea el punto [math]P_0\left(x_0,y_0,z_0\right)[/math], con vector de posicion [math]\vec{p_0}=\left(x_0,y_0,z_0\right)[/math], un punto de la recta [math]L[/math], y sea el vector [math]\vec{u}=\left(a,b,c\right)[/math] un vector director de [math]L[/math].[br][br]Cualquier punto [math]R[/math] que pertenezca a [math]L[/math] puede obtenerse como la suma del vector [math]\vec{p_0}[/math] mas un vector con la direccion de [math]\vec{u}[/math] y con la magnitud necesaria para alcanzar al punto [math]R[/math], es decir: [math]\vec{r}=\vec{p_0}+\lambda\vec{u}[/math] [math]\lambda\in\Re[/math] . [br][br]El escalar [math]\lambda[/math] es un parametro que permita o disminuir el modulo del vector y hasta invertir su sentido, con lo que recorre toda la recta. Entonces, la ecuacion vectorial de [math]L[/math] queda:[br][br][center][math]\vec{r}=\left(x_0,y_0,z_0\right)+\lambda\left(a,b,c\right);\qquad\lambda\in\Re[/math][/center]o bien:[br][center][math]\vec{r}=\left(x_0+\lambda a,y_0+\lambda b,z_0+\lambda c\right);\qquad\lambda\in\Re[/math][/center]

Para determinar una ecuación vectorial de una recta se necesitan un punto y un vector de dirección paralelo a esta, por lo que si solo se cuentan con dos puntos[math]Q,P[/math]incluidos en la recta con vectores de posición [math]\vec{q}[/math] y [math]\vec{p}[/math] respectivamente, es posible obtener un vector de dirección paralelo al segmento dirigido[math]\vec{PQ}=\vec{q}-\vec{p}[/math] y usar uno de los puntos conocidos como apoyo. De tal manera que obtenemos una ecuación vectorial:[center][math]\vec{r}=P+\vec{\lambda PQ};\qquad\lambda\in\Re[/math][/center]