[br]Zbadamy jak ilość ekstremów lokalnych funkcji [math]f[/math] określonej wzorem [center][math]f(x,y)=x^4+2y^2+axy[/math] dla [math](x,y)\in \mathbb{R}^2[/math],[/center]zależy od wartości parametru [math]a\in\mathbb{R}[/math].[br][u][br][/u][u]Rozwiązanie[/u].

Analizując rozwiązania przedstawione w wierszu 6 stwierdzamy, że funkcja [math]f[/math] ma [br][list][*]jeden punkt stacjonarny, gdy [math]a=0[/math],[br][/*][*]trzy punkty stacjonarne, gdy [math]a\ne0[/math]. [br][/*][/list]W przypadku, gdy [math]a=0[/math] dla punktu [math]P=(0,0)[/math] mamy [math]w_2=0[/math], a zatem warunek wystarczający nie rozstrzyga o istnieniu ekstremów lokalnych. Ponieważ jednak [center][math]f(x,y)=x^4+2y^2\ge0=f(P)[/math] dla [math](x,y)\in \mathbb{R}^2[/math],[/center]więc bezpośrednio z definicji wynika, że [math]f[/math] ma minimum lokalne w punkcie [math]P[/math] równe [math]0[/math].[br]W przypadku, gdy [math]a\neq0[/math] dla punktu [math]P=(0,0)[/math] mamy [math]w_2=-a^2<0[/math], a zatem funkcja [math]f[/math] nie ma ekstremum lokalnego w punkcie [math]P[/math]. Dla punktu [math]Q=\left(\frac{1}{4}a,-\frac{1}{16}a^2\right)[/math] mamy: [math]w_2=2a^2>0[/math] i [math]w_1=\frac{3}{4}a^2>0[/math], zatem funkcja [math]f[/math]ma minimum lokalne w punkcie [math]Q[/math] równe [math]-\frac{1}{256}a^4[/math]. [br]Zastanów się, co można powiedzieć o trzecim punkcie stcjonarnym [math]R=\left(-\frac{1}{4}a,\frac{1}{16}a^2\right)[/math]. Wykonaj odpowiednie obliczenia, np. modyfikując wiersz 10.[br][br][u]Ilustracja graficzna[/u]:

Obserwując widok wykresu funkcji [math]f[/math] z góry, zastanów się, dla jakich wartości parametru [math]a[/math] funkcja [math]f[/math] ma ekstremum lokalne należące do zbioru [math](0,+\infty)^2[/math]? Postaw hipotezę, a następnie udowodnij ją wykorzystując obliczenia wykonane powyżej.