Sur une idée de [url=https://twitter.com/EtwTerp]Carole Terpereau[/url]. Un polygone régulier est découpé en petits triangles qui font apparaitre le même polygone régulier plus petit. On a une suite géométrique de polygones réguliers emboîtés.

La similitude qui envoie un polygone régulier sur le suivant est de raison [math]q=cos\frac\pi n[/math] et d'angle π/n. L'aire du premier petit triangle coloré est [math]\mathcal{A}=a^2 \sin\frac\pi n\cos\frac\pi n[/math] si le côté du polygone est [math]a[/math], ce qui donne [math]\mathcal{A}(1+q+\cdots+q^k+\cdots)=\frac{\mathcal{A}}{1-q}=\frac{A}n[/math] où [math]A[/math] est l'aire du polygone régulier.