Pensando en [math]\mathbb{R}[/math] si deseamos obtener la longitud de un intervalo, basta con que contemos los espacios de diferencia, por ejemplo :

Nuestro problema llega cuando queremos pensar en [math]\mathbb{R}^2[/math], pues existen otras curvas que no necesariamente son rectas, pues si todas fueran rectas, bastaría con sacar la norma del segmento dada por [math]\mid\mid B-A\mid\mid[/math].[br][br]Entonces ¿cómo sacamos la longitud de una de estas curvas?[br][br]podemos empezar sacando una primera aproximación trazando una línea recta de el punto A (inicio) a el punto B (final), después podemos darnos cuenta de que si trazamos k segmentos y los sumamos [math]\left(\sum\mid\mid i+1-i\mid\mid\right)[/math], obtendremos una mejor medida de la longitud ej:

Entonces podemos pensar esta suma como [math]\Sigma\mid\mid f\left(t_{i+1}\right)-f\left(t_i\right)\mid\mid[/math] y la reescribimos como [br][math]\Sigma\mid\mid\left(f_1\left(t_{i+1}\right),f_2\left(t_{i+1}\right)\right)-\left(f_{1\left(t_i\right),}f_2\left(t_i\right)\right)\mid\mid[/math] ya que la función esta dada por (f1,f2), luego: [br][br][math]\Sigma\mid\mid f_1\left(t_{i+1}\right)-f_1\left(t_i\right),f_2\left(t_{i+1}\right)f_2\left(t_i\right)\mid\mid[/math] Así,[br][br][math]\Sigma\mid\mid\frac{f_1\left(t_{i+1}\right)-f_1\left(t_i\right)}{t_{i+1}-t_i},\frac{f_2\left(t_{i+1}\right)f_2\left(t_i\right)}{t_{i+1}-t_i}\mid\mid\left|t_{i+1}-t_i\right|[/math] donde ti+1-ti es un escalar (uno conveniente)[br][br]y finalmente, todo esto se transforma en [br][br][math]\int\mid\mid\left(f_1^{ }'\left(t\right),f_2'\left(t\right)\right)\mid\mid dt[/math] notemos que nuestro "uno conveniente" se transforma en el dt (diferencial) y el escalar agregado se convierte en la derivada.[br][br]