Data due funzioni [b]derivabili[/b] [math]\large\bf y=f\left(x\right)[/math] e [math]\large\bf y=g\left(x\right)[/math], dove [math]\large\bf C\left(g\right)\subset D\left(f\right)[/math], la derivata della funzione composta [math]\large\bf y=f\left(g(x)\right)[/math] si ottiene dal [b]prodotto [/b]della derivata della funzione più esterna ([b]f[/b]) con [u]medesimo argomento[/u] ([b]g[/b]) per la derivata dell'argomento stesso, ovvero:[br][br][center][math]\Large\bf D\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]=f'\left(g\left(x\right)\right)\cdot g'\left(x\right)[/math][/center][center]__________________________________________________________________________________________________________[/center]

L'integrale indefinito di una [b]funzione derivata di una funzione composta[/b] è un particolare caso d'integrazione di [b]prodotto[/b] di due funzioni dove una richiama la derivata dell'argomento dell'altra, riproponendo di fatto al contrario lo schema della [b]derivata di funzione composta[/b].[br][center]__________________________________________________________________________________________________________[/center]

Di seguito le diverse forme di integrazione di [b]funzione derivata di una funzione composta[/b]:[br][left][math]\Large [br]\begin{array}{l}\hline[br]\int_{ }^{ }f'(x)\cdot\left[f(x)\right]^n\ dx=\frac{\left[f(x)\right]^{n+1}}{n+1}+c\quad(n\in\mathbb{R}-\left\{-1\right\})\\ \small[br]\int_{ }^{ }\frac{f'(x)}{\left[f(x)\right]^n}\ dx=\int_{ }^{ }f'(x)\cdot\left[f(x)\right]^{-n}\ dx=\dots \\\hline[br]\int_{ }^{ }\frac{f'(x)}{f(x)}\ dx=\ln\left|f(x)\right|+c \Large \\\hline[br]\int_{ }^{ }f'(x)\cdot e^{f(x)}\ dx=e^{f(x)}+c \\\hline[br]\int_{ }^{ }f'(x)\cdot a^{f(x)}\ dx=\frac{a^{f(x)}}{\ln a}+c\quad(a\in\mathbb{R}_0^+) \\\hline[br]\int_{ }^{ }f'(x)\cdot\sin(f(x))\ dx=-\cos(f(x))+c \\\hline[br]\int_{ }^{ }f'(x)\cdot\cos(f(x))\ dx=\sin(f(x))+c \\\hline[br]\int_{ }^{ }\frac{f'(x)}{\cos^2(f(x))}\ dx=\tan(f(x))+c \\\hline[br]\int_{ }^{ }\frac{f'(x)}{\sin^2(f(x))}\ dx=-\cot(f(x))+c \\\hline[br]\int_{ }^{ }\frac{f'(x)}{[f(x)]^2+1}\ dx=\arctan(f(x))+c \\\hline[br]\int_{ }^{ }\frac{f'(x)}{\sqrt{1-[f(x)]^2}}\ dx=\arcsin(f(x))+c \\\hline[br]\int_{ }^{ }f'(x)\cdot\sinh(f(x))\ dx=\cosh(f(x))+c \\\hline[br]\int_{ }^{ }f'(x)\cdot\cosh(f(x))\ dx=\sinh f(x)+c \\\hline[br]\int_{ }^{ }\frac{f'(x)}{\cosh^2(f(x))}\ dx=\tanh(f(x))+c \\\hline[br]\int_{ }^{ }\frac{f'(x)}{\sinh^2(f(x))}\ dx=-\coth(f(x))+c \\\hline \end{array}[br][br][/math][/left]

[math] \int_{ }^{ }(3x^2+1)\left(x^3+x-195\right)^7\ dx=\frac{\left(x^3+x-195\right)^8}{8}+c[/math]