Az [url=https://www.geogebra.org/m/xa9gzw7e#material/wehdfvpr]imént vázolt [/url]elliptikus síkot most egy olyan gömb egyik félgömbjén fogjuk modellezni, amely az origóban érinti a térbeli koordinátarendszer [i](xy)[/i] síkját, a sugara továbbra is [u][i]r=5[/i][/u] , a félgömb határköre párhuzamos az [i](xy[/i][b])[/b] síkkal. (A térbeli koordinátarendszer ki-be kapcsolását [b]xyz [/b] jelre kattintva tehetjük meg. )[br][br]Az elliptikus sík gömbi modelljéből úgy kapjuk a félgömb modellt, hogy a gömbünk felső, nem látható részére eső alakzatainkat vagy az alakzatainknak (pl. E-egyenesnek, E-körnek) az ide eső részeit a gömb középpontjára tükrözzük , így a "látható" félgömbre kerülnek. Így ha egy pont pl. folytonos mozgása során kijut a félgömb határvonalára, akkor egyszeriben "átugrik" a határvonal átellenes pontjára, és onnan már a látható (alsó) félgömbre eső átellenes pontja folytatja ugyanazt a mozgást.

Kövessük lépésenként, miként épül fel a fenti applet:[br][br][list=1][*]A G-modell alapgömbjét eltoltuk a térbeli koordinátarendszer [i]z[/i] tengelye mentén úgy, hogy érintse az [i]xy[/i] síkot.[br][br][/*][*]Felvettük azt a félgömböt, amelynek a határvonala párhuzamos az[i] (xy) [/i]síkkal. Ez lesz az E-sík félgömb-modelljének az alapalakzata.[br][br][/*][*]Vegyük fel az alapalakzat [b][color=#ff0000]A[/color][/b] és [b][color=#6aa84f]B[/color][/b] pontját. Ezeket mozgatva figyeljük meg, hogy amint kiérnek az alapalakzat (látszólagos) határvonalára, valóban "átugranak" az átellenes pontjuk helyére. Ennek a gyakorlati kivitelezése [url=https://www.geogebra.org/m/pX7a97q5#material/mpfhgw4g]bizonyára érdekli[/url] a dinamikus koordináták alkalmazóit.[br][br][/*][*]Adjuk meg az [b][color=#ff0000]A[/color][color=#333333],[/color][color=#6aa84f] B[/color][/b] pontokra illeszkedő [color=#9900ff][b]E-egyenest.[/b][/color] Ebben a modellben ez olyan félkörív lesz, amelynek a végpontjai a határvonal átellenes - most matematikai szempontból vele azonos - pontjai. (Ezt az absztrakciót szem előtt tartva, meggyőződhetünk arról, hogy az E-egyenes valóban zárt vonal.) [br][br][/*][*]Az előbbi E-egyenes helyett most vegyünk fel egy [color=#ff0000][b]A[/b][/color] középpontú [color=#38761d][b]B[/b][/color] pontra illeszkedő [color=#ff00ff][b]E-kört.[/b] [/color][color=#333333]A szerkesztés jelölőnégyzetet bekapcsolva látszik, hogy ennek a körnek egy része esetleg a felső - virtuális - félgömbre esik. Ekkor e kör antipotens (O-ra tükrözött) példányának egy része a látható félgömbünkre esik, ezért ilyenkor - látszólag - két részből áll a - folytonosnak tekinthető és tekintendő - E-körvonal. [br][br][/color][/*][*][color=#333333]Talán leszögezhetjük, hogy ez a félgömb-modell kicsit áttekinthetőbb, mint a gömb-modell, de jobb lenne a síkot valóban síkbeli alakzatként kezelni, [/color][url=https://www.geogebra.org/m/NSQ9meGe]úgy mint itt.[/url][color=#333333] Ideje bevallani, hogy az összes eddigi fáradozásunknak ez volt a célja. Van egy jó módszer arra, hogy a félgömböt (általában a gömb kisebb-nagyobb részét) [/color][u]körtartó és szögtartó[/u][color=#333333] módon egy pontból történő vetítéssel egy síkra vetítsük. Ez az un. [/color][i][url=https://en.wikipedia.org/wiki/Stereographic_projection]sztereografikus vetítés[/url].[br][/i][color=#333333]Lényege, hogy a gömbfelület valamely [/color][b]C[/b][color=#333333] pontjából, a gömb minden C-től különböző pontját rávetítjük egy olyan síkra, amely merőleges (CO) egyenesre, ahol O a gömb középpontja.[br]A mi esetünkben ez a sík a térbeli koordinátarendszer[/color][i] (xy)[/i][color=#333333] síkja, amely érinti a gömböt, így a vetítés centruma a [/color][b]C=(0,0,10)[/b][color=#333333] pont. Miután rajzoltunk valamit a félgömbünkre, majd levetítettük az [i](xy)[/i] síkra, az oda vetített alakzatok megjelennek a síkbeli rajzlapunkon is. Ennek a koordinátatengelyei az [/color][b]xy[/b][color=#333333] jelre kattintva kapcsolhatók ki-be.[br]Belátható, hogy ha pl. az A pontot és az A -nak a félgömb határsíkjára vonatkozó [/color][i] T[sub]A[/sub][/i][color=#333333] tükörképét[br] C-ből levetítjük az [/color][i](xy)[/i][color=#333333] síkra, a vetületeik A' ill [/color]T[sub]A[/sub]' [color=#333333] akkor ezek egymás[/color][url=https://www.geogebra.org/m/pX7a97q5#material/veznxzzw] inverzei [/url][color=#333333](tükörképei) lesznek a határkör vetületére nézve.[/color][br][br][/*][*]Itt megszemlélhetjük a 4. lépésben már látott E-egyenes síkbeli vetületét is, amely a síkbeli modell alapkörét átellenes pontokban metsző körív. Az animációt bekapcsolva látjuk, miként "fut körbe" egy mozgó pont az E-sík E-egyenesén.[br]Felvettük az E-egyenes pólusát is. A Szerkesztés jelölőnégyzetet bekapcsolva vizsgáljuk meg, hogy milyen kapcsolat van az [i]AB[/i] E-egyenes [i]P[/i] polárisa, ennek az [i](xy) [/i]síkra vetített [i]P'[/i] képe valamint az E- egyenes [i]z[/i] tengelyhez legközelebbi [i]T[/i] pontja, és ennek a [i]T'[/i] vetülete között. A [i]TP[/i] gömbi főkörívéhez (E-szakaszához) tartozó [i]TOP[/i][i]∢=90°[/i] középponti szöghöz a gömb TCP∢=T'CP'∢=45° -os kerületi szöge tartozik. Hamarosan látni fogjuk, hogy a továbbiakban ennek milyen fontos szerepe lesz.[br][br][/*][*]Végül megfigyelhetjük, hogy az eredetileg gömbön, majd a félgömbön felvett E-kör hogyan "viselkedhet" az elliptikus sík körmodelljén. Ha az E-körnek két külön része látható, az csak azt jeleni, hogy az E-kör metszi az alap félgömb ill. a síkbeli modell alapkörét, amelynek a pontjairól "tudjuk", hogy egyetlen E-kör pontjai, bár hol itt, hol ott látszanak. Matematikai szempontból ugyanolyanok, mint az E-sík többi pontja. Az elliptikus sík mindenütt homogén. Ha ez a két "rész" egybeesik, az azt jelenti, hogy az E-kör egyenessé fajult, amelynek pólusa az [i]A[/i] pont.[br][/*][/list]"Vezess új útra, Lucifer, vezess!"