Geradengleichung

Wir haben eine Gerade bisher durch einen [b]Punkt[/b] und einen [b]Richtungsvektor[/b] festgelegt.[br]Im folgenden Applet ist statt des Richtungsvektors ein [b]Normalvektor[/b] gegeben.[br][i]g[/i]: P = (2 | 4), [math]\vec{n}=\binom{1}{-3}[/math].

Aufgabe 1a

Gib eine [b]Parameterdarstellung[/b] der Geraden [i]g[/i] an.

Aufgabe 1b

Setze für [i]X[/i] den Koordinatenvektor [math]\binom{x}{y}[/math] ein und drücke beide Koordinaten durch [i]t[/i] aus. [br]Eliminiere [i]t[/i], sodass [i]eine[/i] Gleichung für [i]x[/i] und y entsteht.

Aufgabe 2

Man kann auch ohne die Parameterdarstellung eine Gleichung der Geraden aufstellen:[br]a) Welche Beziehung besteht zwischen [math]\vec{n}[/math] und [math]\overrightarrow{PX}[/math]?[br]b) Drücke diese Beziehung durch eine Gleichung aus und setze wie oben die Koordinaten ein.

[i]Allgemein gilt also:[/i][br]Sei [i]g[/i] eine Gerade durch den Punkt P mit dem Normalvektor [math]\vec{n}[/math].[br]Ein Punkt X liegt genau dann auf [i]g[/i], wenn [math]\overrightarrow{PX}[/math] auf [math]\vec{n}[/math] normal steht. [br]Das ist zu folgenden Aussagen äquivalent: [br][math]\vec{n}\cdot\overrightarrow{PX}=0[/math],[br][math]\vec{n}\cdot\left(X-P\right)=0[/math],[br][math]\vec{n}\cdot X-\vec{n}\cdot P=0[/math],[br][math]\textcolor{blue}\bf\it{\vec{n}\cdot X=\vec{n}\cdot P}[/math].[br]Diese Gleichung bezeichnet man als [color=#0000ff][b]Normalvektorform[/b][/color] der Geradengleichung.

Aufgabe 3a

Die Gerade [i]g[/i] geht durch die Punkte A und B: A = (-3 | 4), B = (7 | -1).[br]Gib eine Gleichung von [i]g[/i] in Normalvektorform an und setze die Koordinaten ein.

Aufgabe 3b

(1) Stelle fest, ob P = (-14 | 9,5) und Q = (20 | -7) auf [i]g[/i] liegen.[br](2) Berechne die Schnittpunkte von [i]g[/i] mit den Koordinatenachsen.