Seja[math]f(x)[/math] uma função. Definimos:

[b][color=#1e84cc][center][size=85][size=150][/size][/size][/center][/color][/b][size=200][b][color=#1e84cc][center][size=85][size=150]Prolongamento periódico par:[/size][/size][/center][/color][/b][/size]

Dado que [math]\left\{cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right),m=0,1,2,...\right\}[/math] é um conjunto ortogonal completo no intervalo de [math]0[/math] a[math]L[/math]. A série de Fourier da função [math]f(x)[/math] com respeito a esse conjunto ortogonal é dada por:

[math]g\left(x\right)=a_0+\sum_{m=1}^{^{\infty}}a_mcos\left(\frac{m\pi x}{L}\right)[/math][br]onde:

[br][math]a_0=\frac{1}{L}\int_0^Lf\left(x\right)dx[/math] e [math]a_m=\frac{2}{L}\int_0^Lf\left(x\right)cos\left(\frac{m\pi x}{L}\right)dx[/math].

[b][color=#1e84cc][center][size=85][size=150][/size][/size][/center][/color][/b][size=200][b][color=#1e84cc][center][size=85][size=150]Prolongamento periódico ímpar:[/size][/size][/center][/color][/b][/size]

Dado que [math]\left\{sen\left(\frac{n\pi x}{L}\right),\ n=1,2,...\right\}[/math] é um conjunto ortogonal completo no intervalo de [math]0[/math] a[math]L[/math]. A série de Fourier da função [math]f(x)[/math] com respeito a esse conjunto ortogonal é dada por:

[math]g\left(x\right)=\sum_{n=1}^{^{\infty}}b_nsen\left(\frac{n\pi x}{L}\right)[/math][br]onde:

[br][math]b_n=\frac{2}{L}\int_0^Lf\left(x\right)sen\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx[/math].