[b][br]Función cuadrática[br][br]Función cuadrática[/b] es una función polinómica de grado 2. Su expresión matemática se puede escribir como [b]f(x) = a x[sup]2[/sup] + b x + c[/b], con a [math]\ne[/math] 0. Su gráfica es una curva llamada [b]parábola[/b] con su eje de simetría paralelo al eje Y.[br][br][b]Características de la función cuadrática[br][br][/b]- [b]Gráfica[/b]: parábola con eje de simetría paralelo al eje Y[br][br]- [b]Intercepto con eje Y[/b]: punto (0, c)[br][br]- [b]Eje de simetría[/b] (ES): recta [math]x_s=-\frac{b}{2a}[/math]. Si b = 0 la función es par porque es simétrica al eje Y: [math]f\left(x\right)=f\left(-x\right)[/math][br][br]- [b]Concavidad[/b]: [br][br] a) Si a > 0 es convexa (ramas hacia arriba) y tiene un extremo que es un mínimo, [math]P_M=\left(-\frac{b}{2a},f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)[/math] [br][br] b) Si a < 0 es cóncava (ramas hacia abajo) y tiene un extremo que es un máximo, [math]P_M=\left(-\frac{b}{2a},f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)[/math] [br][br]- [b] Punto extremo:[/b] El extremo de la función cuadrática recibe el nombre de [b]vértice[/b] de la parábola. Su abcisa es el valor del eje de simetría mientras que su ordenada es la imagen del eje de simetría.[br][br] - [b]Dominio[/b]: conjunto de los números reales, D[sub]f[/sub] = R[br][br]- [b]Rango[/b]: [br][br] a) Si a > 0: intervalo [b][[/b][math]f\left(-\frac{b}{2a}\right),\infty[/math][b])[/b]. Reales mayores o iguales que la ordenada del vértice.[br][br] b) Si a < 0: intervalo [b]([/b][math]-\infty,f\left(-\frac{b}{2a}\right)[/math][b]][/b]. Reales menores o iguales que la ordenada del vértice.[br][br]- [b]Crecimiento y decrecimiento[/b]:[br][br] a) Si a > 0: decrece desde [math]\infty[/math] hasta el vértice y crece desde el vértice hasta [math]\infty[/math].[br][br] b) Si a < 0: crece desde [math]-\infty[/math] hasta el vértice y decrece desde el vértice hasta [math]-\infty[/math].[br][br]- [b]Raíces o ceros[/b]: [br][br] a) Dos raíces reales diferentes si [math]b^2-4ac[/math] > 0. [br][br] b) Dos raíces reales idénticas si [math]b^2-4ac[/math]= 0. En este caso, R[sub]1[/sub] = R2 y la parábola es tangente al eje X.[br][br] c) Dos raíces complejas diferentes si [math]b^2-4ac[/math] < 0. La parábola no cruza al eje X.[br][br]La expresión [math]b^2-4ac[/math] recibe el nombre de [b]discriminante[/b].[br][br]Para obtener las raíces se resuelve la ecuación que resulta de igualar el polinomio a cero: [math]ax^2+bx+c=0[/math]. Normalmente se hace por la fórmula general de la ecuación cuadrática o por factorización.[br][br]La fórmula general de la ecuación cuadrática [math]ax^2+bx+c=0[/math] es [math]x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math]. De ahí se obtiene que las raíces son [math]R_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math] y [math]R_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/math][br]Obsérvese que en la fórmula general están incluidas las expresiones del eje de simetría y del discriminante.

[b]Actividades:[br][br]1. Applet para analizar características de la función cuadrática.[br][br][/b]Utilice los deslizadores o las casillas de entrada [b]a[/b], [b]b[/b] y [b]c[/b] para definir la función cuadrática.[br][br]En este applet se analiza:[br][br]- [b]Concavidad[/b]: Si es cóncava o convexa. Además se muestra la tangente a la curva en un punto cualquiera. [br]Analice la ubicación de la curva con relación a la recta tangente. [br][br]- [b]Eje de simetría[br][br][/b]- [b]Punto extremo:[/b] Analice cuando corresponde a un mínimo o a un máximo.[br][br]- [b]Dominio:[/b] En toda función cuadrática el dominio son los reales. En otras palabras, en los reales toda abcisa [b]x[/b] tiene su imagen y es única. [br][br]- [b]Rango:[/b] Analice el conjunto de los reales que son imagen de algún valor de [b]x[/b]. [br][br]- [b]Intercepto con eje Y[/b]: Obsérvese que la ordenada [b]y[/b] del intercepto con el eje Y corresponde al coeficiente [b]c[/b] de la función cuadrática.

[b]2. Applet para calcular y analizar las raíces o ceros de la función y el discriminante.[br][br][/b]En este applet se utiliza la [b]Vista Cálculo simbólico CAS[/b] de geogebra. Este software permite el manejo algebraico de expresiones.[br][br]Se puede observar [b]Eje de simetría[/b], [b]Punto extremo, Discriminante y raíces[/b].[br][br]En todos los casos se muestra la fórmula y el resultado.[br][br]NOTA: Las expresiones (fórmulas y textos) de la Vista CAS se pueden editar pero en este applet no se debe hacer. Si se hace alguna modificación se debe [b]reiniciar[/b] el applet utilizando el ícono mostrado en la parte superior derecha del applet.

[b]3. Applet para explorar tabla de valores utilizando la Vista Hoja de cálculo de geogebra.[br][br][/b]La [b]Vista Hoja de cálculo[/b] de geogebra permite el manejo de datos dispuestos en filas y columnas.[br][br]En este applet se muestra una tabla de valores de 10 puntos de la función definida con los coeficientes [b]a[/b], [b]b[/b] y [b]c. [/b]Cada punto es de la forma [b](x, f(x)). [/b]Así por ejemplo el punto [b]C[/b] es (-2,6): [b]x[/b] = -2, [b]f(-2)[/b] = 6[br][br]Los valores de [b]x[/b] se pueden editar y automáticamente el softawre calcula y muestra el valor de la función [b]f(x) [/b]para esa [b]x[/b]. Así se puede obtener el valor de la función para cualquier valor de [b]x[/b]. Ejemplo: [b]f(10) = ?[/b][br][br]NOTA: No se deben modificar los datos de las filas [b]A[/b] y [b]C[/b]. En caso de hacerlo se debe [b]reiniciar[/b] el applet utilizando el ícono mostrado en la parte superior derecha.[br][br]Observe lo que sucede cuando se cambia un dato de la columna [b]C[/b] y se muestra la gráfica y los puntos de la tabla de valores.[br]

[b]4. Applet para analizar la función cuadrática como una cónica (parábola con eje de simetría vertical)[/b].[br][br]En este applet se muestra la ecuación y la gráfica de la parábola que corresponde a la gráfica de la función cuadrática. [br][br]Para obtener información complementaria sobre la [b]parábola[/b], analice la lección geogebra [b]Parábola - Lección 04-01[/b], https://www.geogebra.org/m/pcnxcezq

Para obtener información general sobre funciones analice el libro geogebra [b]Funciones con geogebra[/b], https://www.geogebra.org/m/ybhvuukp

[b]Otras actividades: [/b]Resuelva las siguientes preguntas.