Das Foucaultsche Pendel
Das Foucaultsche Pendel ist nach Léon Foucault, dem Erfinder dieses Experiments benannt. [br]Mit der Hilfe eines einfachen Pendels lässt sich die Eigenrotation der Erde messen. Dazu muss das Pendel jedoch über eine längere Zeit (Stunden bis Tage) schwingen. [br]Die unten stehende Animation in Kombination mit einigen trigonometrischen Überlegungen wird erklärt was man misst und wie dies die Erdrotation zeigt.
Aufgabe 1
Was versteht man unter der "Schwingungsebene" eines Fadenpendels?
Aufgabe 2
Stellen wir uns vor, dass wir uns auf dem Nordpol befinden und dort ein Fadenpendel in Schwingung versetzen. Wir beobachten das Pendel während 24 Stunden. Was beobachten wir und weshalb?
Pendelverhalten am Pol
Das folgende Applet zeigt, wie sich das Pendel am Nordpol verhält. Auf der linken Seite ist ein Kreis gezeichnet. Wir stellen uns vor, dass sich das Pendel einmal in 24 Stunden auf diesem Kreis bewegt. Der rot markierte Punkt sei dabei das Pendel.[br]Mit dem Knopf "Schwingung" lässt sich die Pendelschwingung animieren. Mit dem Knopf "Erdrotation" wird das Pendel auf dem Kreis herumgeschickt. Man beobachtet, dass sich die Schwingungsebene des Pendels nicht ändert. [br]Auf der rechten Seite ist die Erde abgebildet. Am Nordpol befindet sich der besagte Kreis. Zu beachten ist, dass der Kreis hier überall senkrecht auf der Kugeloberfläche steht. Dreht sich nun die Erde, so scheint so als ob sich das Pendel drehen würde.
Pendelverhalten an diversen Breitengraden
Nun wollen wir das Pendel in anderen Breitengraden aufstellen. Dabei müssen wir darauf achten, dass die Schwingungsebene des Pendels fixiert bleibt. Aber wie fixieren wir diese Ebene? [br]Dazu müssen wir versuchen, den links abgebildeten Kreis derart auf den Breitengrad abzubilden, dass das Pendel immer noch senkrecht über der Kugeloberfläche steht. Dies erreichen wir damit, dass wir aus dem Kreis ein Segment herausschneiden und den Rest des Kreises zu einem Kegel formen. [br]In folgendem Applet entscheidet der Winkel [math]\alpha[/math] über die Grösse des herausgeschnittenen Kreissegments. Mit dem Winkel [math]\beta[/math] wird dann der Zylinder eingedreht. Im Applet wird der violette Anteil nicht wirklich herausgeschnitten, sondern mit eingedreht, so dass eine Überlappung entsteht.
Aufgabe 3
Verändere den Schieberegler [math]\beta[/math] und beobachte, wie sich der Kegel formt. Achte insbesondere darauf, was mit den ursprünglich Parallelen Linien geschieht.
Aufgabe 4
Verändere nun die Zeit und beobachte wie sich der rote Punkt links und der rote Punkt rechts bewegt. Achte insbesondere darauf wann der Punkt den Kegel einmal umrundet hat. Achte auch auf die Schwingungsrichtung des Pendels.
Aufgabe 5
In folgendem Applet wird der Kegel auf die Erdkugel gesetzt. [br]Verändere den Breitengrad und beschreibe den Zusammenhang vom linken Bild zum rechten.
Aufgabe 6
Stelle nun den Breitengrad auf [math]0^\circ[/math] und beobachte, wie sich der Kegel dabei verändert. Wie verändert sich dadurch die Schwingungsrichtung des Pendels? Was beobachtet also ein Mensch am Äquator?
Herleitung der Rotationsdauer
Wie wir oben gesehen haben, benötigt das Pendel am Nordpol 24 Stunden um sich scheinbar einmal um sich selbst zu drehen. Dieser Wert verändert sich je nach Breitengrad. [br]In unserem Modell durchläuft das Pendel in 24 Stunden nur ein Teil des Kreises, den herausgeschnittenen (violetten) Teil muss zusätzlich durchlaufen werden, damit das Pendel wieder den Anfangszustand erreicht.[br]Damit wir berechnen können, wie lange eine Umrundung am Breitengrad [math]\vartheta[/math] benötigt, gehen wir wie folgt vor: [br][list][*]Der Kreis habe einen Radius von [math]s[/math]. Beim Bilden des Kegels wird dieser Radius zur Mantellinie des Kegels.[/*][*]Die Kugel habe einen Radius von [math]R[/math].[/*][*]Der Breitengrad sei [math]\vartheta[/math][/*][/list]Damit ergibt sich (vergleiche dazu auch das unten stehende Bild: [br][list][*]Der Radius des Grundkreises vom Kegel ist [math]r=R\cdot\cos\left(\vartheta\right)[/math][br][/*][*]Der halbe Öffnungswinkel des Kegels beträgt [math]\vartheta[/math].[/*][*]Die Mantellinie des Kegels (Kreisradius vom linken Kreis) beträgt [math]s=\frac{R}{tan\left(\vartheta\right)}[/math][br][/*][*]In 24 Stunden durchläuft der Punkt den gesamten Grundkreis des Kegels. Er legt also eine Strecke von [math]U_{\vartheta}=2\cdot\pi\cdot R\cdot\cos\left(\vartheta\right)[/math] zurück[/*][*]Damit das Pendel wieder in die gleiche Richtung schwingt, muss es den ganzen Kreis umlaufen. Dafür benötigt es die (unbekannte) Zeit [math]T[/math]. [/*][*]Da die Rotationsgeschwindigkeit der Erde konstant ist, gilt also: [math]\frac{24h}{2\pi R\cos\left(\vartheta\right)}=\frac{T}{2\pi s}[/math][/*][*]Damit ist dann: [math]T=\frac{24h\cdot s}{R\cos\left(\vartheta\right)}=\frac{24h\cdot R}{R\cdot\cos\left(\vartheta\right)\cdot\tan\left(\vartheta\right)}=\frac{24h}{sin\left(\vartheta\right)}[/math][/*][/list]
Sarnen liegt auf dem Breitengrad [math]46^\circ53'44''[/math]Nord. Damit ergibt sich eine Umlaufszeit von [math]T=32h\quad52\min[/math]. Das bedeutet, dass das Pendel in dieser Zeit eine vollständige Drehung durchläuft. [br]Damit verändert sich die Pendelrichtung um [math]\delta=\frac{360^\circ}{T}=10.95^\circ\approx11^\circ[/math] pro Stunde.