[b]Paraabeli[/b] on niiden tason pisteiden [math]P=(x,y)[/math] joukko, jotka ovat yhtä kaukana kiinteästä [b]polttopisteestä [/b][math]F[/math] ja [b]johtosuorasta [/b][math]AB[/math].[br][br]Paraabelin ([b]symmetria-[/b])[b]akseli [/b]on johtosuoraa vastaan kohtisuora suora, joka kulkee polttopisteen kautta. Paraabelin ja sen akselin leikkauspiste on paraabelin [b]huippupiste [/b][math]H[/math].

Tutki seuraavan sovelman avulla paraabelin muodostumista.[br][list][*]Muuta pisteen [math]P[/math] paikkaa ja totea, että etäisyys pisteestä [math]F[/math] ja suorasta [math]AB[/math] on aina yhtä suuri.[/*][*]Muuta pistettä [math]F[/math] sekä suoraa [math]AB[/math] ja tutki, miten paraabelin muoto muuttuu.[/*][*]Saatko muodostettua 1) ylös, 2) alas, 3) oikealle ja 4) vasemmalle aukeavan paraabelin? [/*][/list]

Ylös- tai alaspäin aukeavan paraabelin yhtälön[br][list][*][b]perusmuoto[/b] on [math]y=ax^2+bx+c[/math][/*][*][b]huippumuoto[/b] on [math]y-y_0=a(x-x_0)^2[/math], missä [math](x_0,y_0)[/math] on paraabelin huippu[/*][*][b]nollakohtamuoto[/b] on [math]y=a(x-x_1)(x-x_2)[/math], missä [math]x_1[/math] ja [math]x_2[/math] ovat paraabelin nollakohdat[/*][/list]Paraabeli aukeaa ylöspäin, jos [math]a>0[/math] tai alaspäin, jos [math]a<0[/math].[br]Huipun [math]x[/math]-koordinaatti on [math]x_0=\frac{-b}{2a}[/math] ja [math]y[/math]-koordinaatti voidaan laskea perusmuodon avulla.

Sivulle aukeavan paraabelin yhtälöt ovat analogisia ylös- tai alaspäin aukeavan paraabelin yhtälöiden kanssa, ainoastaan [math]x[/math] ja [math]y[/math] vaihtavat paikkaa.[br]Paraabelin yhtälön[br][list][*]perusmuoto on [math]x=ay^2+by+c[/math][/*][*]huippumuoto on [math]x-x_0=a(y-y_0)^2[/math], missä [math](x_0,y_0)[/math] on paraabelin huippu[/*][*]nollakohtamuoto on [math]x=a(y-y_1)(y-y_2)[/math], missä [math]y_1[/math] ja [math]y_2[/math] ovat paraabelin ja y-akselin leikkauskorkeudet[/*][/list]Paraabeli aukeaa ylöspäin, jos [math]a>0[/math] tai alaspäin, jos [math]a<0[/math].[br]Huipun [math]y[/math]-koordinaatti on [math]y_0=\frac{-b}{2a}[/math] ja [math]x[/math]-koordinaatti voidaan laskea perusmuodon avulla.

Paraabelin [b]tangentti[/b] on suora, joka [b]sivuaa [/b](leikkaa)[b] paraabelia täsmälleen yhdessä pisteessä[/b], mutta se [color=#ff0000]ei ole akselin suuntainen[/color].[br][br]Paraabelin tangenttiin liittyvissä tehtävissä käytetään tällä kurssilla hyödyksi tietoa, että leikkauspisteitä on vain yksi: Muodostetaan leikkauspisteen määrittämiseksi yhtälöpari, jonka ratkaisuna pitää saada vain yksi ratkaisu. Saadaan 2. asteen yhtälö, jolla on yksi ratkaisu vain, jos [b]diskriminantti [/b][math]D=b^2-4ac=0[/math].