[size=150]Per questi teoremi utilizzeremo un triangolo speciale, detto rettangolo.[br][br]Il [i][b]triangolo rettangolo[/b][/i] è un triangolo in cui due lati formano un angolo retto ([math]90°[/math]).[br][br]I lati che formano un angolo retto sono detti [i][b][color=#1e84cc]cateti[/color][/b][/i] e li indicherò con [math]C_{1_{ }}[/math] e [math]C_{2_{ }}[/math].[br][br][/size][size=150]Il terzo lato, che è anche il più lungo, si chiama[color=#9900ff] [i][b]ipotenusa[/b][/i][/color] e la indicherò con [math]i[/math].[br][br]L'[i][b][color=#6aa84f]altezza[/color][/b][/i] è un segmento che, partendo dal vertice, forma un angolo di [math]90°[/math] con il lato opposto.[br][br]Presa l'altezza relativa all'ipotenusa e il punto [math]H[/math] dato dall'intersezione tra le due, si osserva che l'ipotenusa viene divisa in due segmenti. Questi prendono il nome di [i][b][color=#ff7700]proiezione del cateto sull'ipotenusa[/color][/b][/i]. Rispetto alla figura sottostante:[br][list][*][math]AH[/math] è la proiezione di [math]AC[/math] su [math]AB[/math];[br][/*][*][math]HB[/math] è la proiezione di [math]BC[/math] su [math]AB[/math].[/*][/list][/size]

[size=150]Secondo il teorema di Pitagora, dato un triangolo rettangolo aventi cateti [math]C_{1_{ }}[/math] e [math]C_{2_{ }}[/math] ed ipotenusa [math]i[/math], allora [i]il[/i] [i]quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti[/i].[br][br][b]COSA SIGNIFICA?[/b] A livello di risoluzione si scrive così: [math]i^2=C_{1_{ }}^2+C_{2_{ }}^2[/math].[br][br][b][i]Osservazione[/i][/b]: quindi, se volessi calcolare il valore dell'ipotenusa, devo porre entrambi i membri sotto radice quadrata e ottengo [math]i=\sqrt{C_{1_{ }}^2+C_{2_{ }}^2}[/math]. [br]Se volessi invece uno dei cateti devo "isolarlo" (ovvero portare al membro opposto l'altro cateto, si veda formule inverse) e poi porre entrambi i membri sotto radice [math]C_{1_{ }}=\sqrt{i^2-C_{2_{ }}^2}[/math].[/size]

[size=150]Sia ora il triangolo rettangolo [math]ABC[/math] con angolo retto in [math]C[/math].[br]Sia anche l'altezza [math]CH[/math] relativa all'ipotenusa [math]AB[/math], i triangoli [math]ACH[/math] e [math]BCH[/math] sono anche loro rettangoli.[br]Secondo il teorema di Euclide [i]il quadrato costruito sul cateto ha area pari a quella del rettangolo che ha per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione[/i][sup][url=https://www.youmath.it/formulari/65-formulari-di-trigonometria-logaritmi-esponenziali/562-teorema-delle-proiezioni.html][1][/url][/sup][i] del cateto sull'ipotenusa[/i].[br][br][b]COSA SIGNIFICA?[/b] [i]Ciascun cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto sull'ipotenusa[/i].[br][b][center][color=#ff0000]AB : CB = CB : HB[br]AB : AC = AC : AH[/color][/center][/b][br]A livello di risoluzione si scrivono così: [math]CB^2=AB\cdot HB[/math] e [math]AC^2=AB\cdot AH[/math].[/size]

[size=150]Sia ora il triangolo rettangolo [math]ABC[/math] con angolo retto in [math]C[/math].[br]Sia anche l'altezza [math]CH[/math] relativa all'ipotenusa [math]AB[/math], i triangoli [math]ACH[/math] e [math]BCH[/math] sono anche loro rettangoli.[br]Secondo il secondo teorema di Euclide [i]il quadrato costruito sull'altezza [math]CH[/math] relativa all'ipotenusa ha area pari a quella del rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni[/i][sup][url=https://www.youmath.it/formulari/65-formulari-di-trigonometria-logaritmi-esponenziali/562-teorema-delle-proiezioni.html][1][/url][/sup][i] dei cateti sull'ipotenusa[/i].[br][br][b]COSA SIGNIFICA?[/b] [i]L'altezza è medio proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa[/i].[br][b][color=#ff0000][center]AH : CH = CH : HB[/center][/color][/b]A livello di risoluzione si scrive così: [math]CH^2=AH\cdot HB[/math].[/size]