I Teoremi di Euclide e Pitagora

Definizioni base

Per questi teoremi utilizzeremo un triangolo speciale, detto rettangolo. Il triangolo rettangolo è un triangolo in cui due lati formano un angolo retto (

). I lati che formano un angolo retto sono detti cateti e li indicherò con

e

. Il terzo lato, che è anche il più lungo, si chiama ipotenusa e la indicherò con

. L'altezza è un segmento che, partendo dal vertice, forma un angolo di

con il lato opposto. Presa l'altezza relativa all'ipotenusa e il punto

dato dall'intersezione tra le due, si osserva che l'ipotenusa viene divisa in due segmenti. Questi prendono il nome di proiezione del cateto sull'ipotenusa. Rispetto alla figura sottostante:

è la proiezione di su ;
è la proiezione di su .

Teorema di Pitagora

Secondo il teorema di Pitagora, dato un triangolo rettangolo aventi cateti

e

ed ipotenusa

, allora il quadrato costruito sull'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. COSA SIGNIFICA? A livello di risoluzione si scrive così:

. Osservazione: quindi, se volessi calcolare il valore dell'ipotenusa, devo porre entrambi i membri sotto radice quadrata e ottengo

. Se volessi invece uno dei cateti devo "isolarlo" (ovvero portare al membro opposto l'altro cateto, si veda formule inverse) e poi porre entrambi i membri sotto radice

.

Primo Teorema di Euclide

Sia ora il triangolo rettangolo

con angolo retto in

. Sia anche l'altezza

relativa all'ipotenusa

, i triangoli

e

sono anche loro rettangoli. Secondo il teorema di Euclide il quadrato costruito sul cateto ha area pari a quella del rettangolo che ha per dimensioni l'ipotenusa e la proiezione^[1] del cateto sull'ipotenusa. COSA SIGNIFICA? Ciascun cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la proiezione del cateto sull'ipotenusa. AB : CB = CB : HB AB : AC = AC : AH
A livello di risoluzione si scrivono così:

e

.

Secondo Teorema di Euclide