Angles & arcs de cercle
Où l'on étudie la relation entre angles au centre d'un cercle et arcs intersectés.
Table of Contents
- Introduction
- Ce que nous allons étudier
- Avant de commencer...
- Deux grandeurs liées ?
- Étude de la relation
- Étude de la relation : représentation graphique
- À la recherche du coefficient (Partie I - le rayon)
- À la recherche du coefficient (Partie II - Cas particulier)
- Conclusion
- Conséquences
Ce que nous allons étudier
Objectifs
Nous allons étudier une éventuelle [b]relation [/b]entre l'[b]angle au centre d'un cercle[/b] et la longueur de l'[b]arc intersecté[/b].[br][br]⚠️ L'étude restera essentiellement [i]expérimentale[/i] : nous allons utiliser Geogebra pour déduire, à partir d'un grand nombre de cas, un lien entre les deux grandeurs ; à cet égard, ce ne sera pas une production Mathématique [i]stricto sensu[/i].
Prêt(e) pour l'aventure ? 🧗🏽♀️
Étude de la relation : représentation graphique
La longueur de l'arc en fonction de l'angle
Traçons le graphique présentant les longueurs de l'arc en fonction de l'angle,[br]en faisant [b]bouger le curseur [/b]ci-dessous :
Après avoir fait varier l'angle et tracer le graphique :
Retrouve-t-on la relation : « plus l'angle est grand, plus l'arc est long » ?
Les différentes positions du point sont-elles alignées sur un même droite ?
Si ces positions sont alignées :
La droite passe-t-elle par l'origine du repère ?[br](Le point de coordonnées (0,0).)
Conclusion
Peut-on affirmer que la longueur de l'arc est [b]proportionnelle [/b]à l'angle au centre qui le définit ?
Conséquences
Avant-propos
Nous avons établi (expérimentalement), la relation suivante :[br][center][math]\smile AB=\frac{\pi}{180°}\times RAYON\times\angle AOB[/math][/center]Ainsi, à rayon fixé, la longueur d'un arc est bien directement proportionnelle à l'angle au centre.[br]Cette relation à une grande importance est nous allons voir certaines d’entre-elles.
Le radian
Prenons un cercle de rayon 1 unité.[br][br]La longueur d'un arc étant directement proportionnelle à l'angle au centre, on peut échanger (à une multiplication près) l'une et l'autre de ces grandeurs (qui n'ont pourtant pas la même unité !). Nous pouvons donc définir une nouvelle unité d'angle : [b]le radian[/b] ![br][br]Le radian est un formidable outil qui simplifie beaucoup de choses lorsqu'on étudie les angles.[br]En savoir plus : [url=https://fr.wikipedia.org/wiki/Radian]https://fr.wikipedia.org/wiki/Radian[/url]
La circonférence de la Terre
Cette relation de proportionnalité entre rayon et angle au centre a été utilisée par Ératosthène pour calculer le diamètre de la Terre, il y a à peu près 2 240 ans. Il avait trouvé 40 000 km au lieu de 40 030 km.
Surface d'un secteur angulaire et diagramme circulaire
Puisque nous disposons d'une relation de proportionnalité entre angle au centre, rayon de cercle et longueur d'arc, nous pourrions montrer qu'il y a proportionnalité entre l'angle au centre et la surface du secteur angulaire définit par cet angle.[br][br]C'est ce qui nous autorise à utiliser des diagrammes circulaires pour représenter une série de données : chaque secteur étant proportionnel à la valeur relative de la série.[br][br]En savoir plus : [url=https://fr.wikipedia.org/wiki/Diagramme_circulaire]https://fr.wikipedia.org/wiki/Diagramme_circulaire[/url]