Ein Unternehmen stellt ein Produkt her und hat die Gewinnfunktion [math]G(x)=-2x^3+30x^2-96x+500[/math], wobei x die Anzahl der produzierten Einheiten (in Tausend) darstellt und [math]G(x)[/math] den Gewinn in Tausend Euro angibt.[br][br][br]Bestimme die Produktionsmenge [math]x[/math], bei der das Unternehmen maximalen Gewinn erzielt und berechne den maximalen Gewinn.[br][br]
Der maximale Gewinn beträgt 404 Tausend Euro, wenn x = 8 Tausend Einheiten produziert werden.
Schritt 1: Ableitungen berechnen[br]Für die Bestimmung der Extremstellen der Gewinnfunktion [math]G(x)[/math] benötigen wir die erste und zweite Ableitung von [math]G(x)[/math].[br]1. Erste Ableitung [math]G'(x)[/math]:[br][math]G'(x)=-6x^2+60x-96[/math][br]2. Zweite Ableitung [math]G''(x)[/math]:[br][br][math]G''(x)=-12x+60[/math][br]Schritt 2: Erste Ableitung nullsetzen (Kandidaten für Extremstellen finden)[br]Setze [math]G'(x)=0[/math], um die möglichen Extremstellen zu finden:[br][br][math]-6x^2+60x-96=0[/math][br][br]Teile die Gleichung durch [math]-6[/math]:[br][br][math]x^2-10x+16=0[/math][br][br]Diese Gleichung lässt sich mit der p-q-Formel lösen.[br]Die Lösungen sind:[br][br][math]x_1=8[/math] und [math]x_2=2[/math][br]Schritt 3: Zweite Ableitung anwenden (Hinweis auf Maximum oder Minimum)1. Setze [math]x=8[/math] in die zweite Ableitung [math]G''(x)[/math] ein:[br][br][math]G''(8)=-12\cdot8+60=-36<0[/math][br][br]Da [math]G''(8)<0[/math], handelt es sich bei [math]x=8[/math] um ein Maximum.[br][br][br][br]2. Setze [math]x=2[/math] in die zweite Ableitung [math]G''(x)[/math] ein:[br][br][math]G''(2)=-12\cdot2+60=36>0[/math][br][br]Da [math]G''(2)>0[/math], handelt es sich bei [math]x=2[/math] um ein Minimum.[br]Schritt 4: Funktionswerte an den Extremstellen berechnenBerechne den maximalen Gewinn, indem du [math]x=8[/math] in die Gewinnfunktion [math]G(x)[/math] einsetzt:[br][br][math]G(8)=-2\cdot8^3+30\cdot8^2-96\cdot8+500=404[/math][br][br]Der maximale Gewinn beträgt also 404 Tausend Euro, wenn x = 8 Tausend Einheiten produziert werden.