Vektoren I
[list] [*]Rechnen mit [i]n[/i]-Tupeln als abgekürzte Schreibweise für [i]n[/i] gleichartige Rechenoperationen; Rechengesetze. [*]Deutung geordneter Zahlenpaare als Punkte und Pfeile (bzw. Pfeilklassen), geometrische Deutung von Addition und Multiplikation mit reellen Zahlen. [*]Geometrische und physikalische Anwendungen: Berechnung von Punkten, Geschwindigkeiten und Kräften. [*]Geraden in Parameterdarstellung. [*]Definition des Skalarprodukts zweier [i]n[/i]-Tupel; Rechengesetze. [*]Geometrische Eigenschaften des Skalarprodukts zweier Pfeile, Berechnung von Abständen und Winkeln, Geradengleichungen in Normalvektorform. [/list]
Table of Contents
- Rechnen mit Tupeln
- Vektoren als n-Tupel
- Rechengesetze für Tupel
- Übungen mit Tupeln
- Punkte und Pfeile
- Koordinatenvektoren
- Pfeile berechnen
- Punkte berechnen 1
- Rechnen mit Pfeilen
- Pfeile addieren
- Geschwindigkeiten und Kräfte
- Pfeile subtrahieren
- Pfeile vervielfachen
- Punkte berechnen 2
- Geraden - Parameterdarstellung
- Geradlinige Bewegung
- Parallele Geraden
- Schnittpunkte
- Pfeile: Maßaufgaben, Zerlegung
- Betrag eines Vektors
- Normalvektoren
- Normalabstand 1
- Komponenten einer Kraft
- Skalarprodukt
- n-Tupel multiplizieren
- Betrag und Orthogonalität
- Normalprojektion und Flächeninhalt
- Winkel zweier Vektoren
- Geraden - Normalvektorform
- Geradengleichung
- Lagebeziehungen und Schnittpunkte
- Normalabstand 2
Vektoren als n-Tupel
Aufgabe 1
[size=150]Beim Einkauf in einem Supermarkt darf man auf vier Waren Rabatt-Sticker ([color=#0000ff][i]-25%[/i][/color]) kleben.[br]Berechne zu den Preisen (in €) [i]P[/i][sub]1[/sub] = 3,60; [i]P[/i][sub]2[/sub] = 7,80; [i]P[/i][sub]3[/sub] = 4,12 und [i]P[/i][sub]4[/sub] = 5,96 die ermäßigten Preise [i]P[/i][sub]1[/sub]', [i]P[/i][sub]2[/sub]', [i]P[/i][sub]3[/sub]' und [i]P[/i][sub]4[/sub]' (für jeden Preis mit einer einzelnen Rechenoperation).[/size]
Vereinfachte Schreibweise
[size=150]Da in allen vier Multiplikationen der erste Faktor 0,75 ist, wird die Multiplikation nur [i]einmal[/i] geschrieben; die vier alten und die vier neuen Preise werden zu sogenannten geordneten [b][i]Quadrupeln[/i][/b] [i]P[/i] bzw. [i]P'[/i] zusammengefasst:[/size][br][br][math]\left( \begin{matrix}P_1'\\P_2'\\P_3'\\P_4' \end{matrix} \right)[br]=\text{\bf \textcolor{red}{0,75}} \cdot \left( \begin{matrix}3,6\\7,8\\4,12\\5,96 \end{matrix} \right)[br]=\left( \begin{matrix}2,7\\5,85\\3,09\\4,47 \end{matrix} \right),[br]\text{also } P'=\text{\bf\textcolor{red}{0,75}} \cdot P.[br][/math]
Aufgabe 2
[size=150]Berechne aus den [i]Brutto[/i]([i]B[/i])- und [i]Netto[/i]([i]N[/i])-Massen (in kg) dreier Pakete die Verpackungsmassen ([i]Tara[/i] [i]T[/i]):[br][br][math]\begin{array} B&N\\0,52&0,47\\1,8&1,2\\6,1&4,9\end{array}[/math][/size]
Vereinfachte Schreibweise
[size=100][size=150]Die drei Subtraktionen mit einzelnen Zahlen werden als [i]eine[/i] Subtraktion mit sogenannten geordneten [i][b]Tripeln[/b][/i] geschrieben:[br][br][math]\left( \begin{matrix}T_1\\T_2\\T_3 \end{matrix} \right)[br]=\left( \begin{matrix}0,52\\1,8\\6,1 \end{matrix} \right)\textcolor{red}-\left( \begin{matrix}0,47\\1,2\\4,9 \end{matrix} \right)[br]=\left( \begin{matrix}0,05\\0,6\\1,2 \end{matrix} \right),[br]\text{also } T=B\textcolor{red}-N.[br][/math][/size][/size]
Aufgabe 3
[size=150]Schreibe das folgende Gleichungssystem vereinfacht als [i]eine[/i] Gleichung. (Steht ein Zeichen in beiden Gleichungen an derselben Position, so soll es nur einmal geschrieben werden.)[br][/size][br][math]\left\{ \begin{array}{lcr} 2x+5y &=& -14\\ 4x+y &=& 8 \end{array} \right.[/math][br]
[size=150]Die Koeffizienten von x bzw. y sowie die Zahlen auf der rechten Seite der Gleichungen wurden zu geordneten [b][i]Paaren[/i][/b] zusammengefasst.[/size]
Zusammenfassung
[size=150]Um mehrere gleichartige Rechenoperationen als eine einzelne Rechenoperation schreiben zu können, haben wir mehrere reelle Zahlen zu [i]geordneten[/i] [i]Paaren[/i], [i]Tripeln[/i] und [i]Quadrupeln[/i] (allgemein: [i]n-Tupeln[/i]) zusammengefasst.[br][br][table][tr][td][b]Paar:[/b][/td][td](x[sub]1[/sub], x[sub]2[/sub])[/td][td]bzw.[/td][td][math]\left( \begin{matrix}x_1\\x_2\end{matrix}\right)[/math][/td][/tr][tr][td][b]Tripel:[/b][/td][td](x[sub]1[/sub], x[sub]2[/sub], x[sub]3[/sub])[/td][td]bzw.[/td][td][math]\left( \begin{matrix}x_1\\x_2\\x_3\end{matrix}\right)[/math][/td][/tr][tr][td][b]Quadrupel:[/b][/td][td](x[sub]1[/sub], x[sub]2[/sub], x[sub]3[/sub], x[sub]4[/sub])[/td][td]bzw.[/td][td][math]\left( \begin{matrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{matrix}\right)[/math][/td][/tr][tr][td][math]\vdots[/math][/td][td][/td][td][/td][td][/td][/tr][tr][td][b]n-Tupel:[/b][/td][td](x[sub]1[/sub], x[sub]2[/sub], ..., x[sub]n[/sub])[/td][td]bzw.[/td][td][math]\left( \begin{matrix}x_1\\x_2\\ \vdots\\x_n\end{matrix}\right)[/math][/td][/tr][/table][br]Die [i]Menge aller geordneten Paare[/i] reeller Zahlen wird mit[math]\mathbb{R}^2[/math]bezeichnet,[br]die [i]Menge aller geordneten Tripel[/i] mit [math]\mathbb{R}^3[/math][b],[/b] [br]...[br]die [i]Menge aller geordneten n-Tupel[/i] mit [math]\mathbb{R}^n[/math][b].[/b][br][br]Für Tupel der Menge [math]\mathbb{R}^n[/math] definieren wir nun allgemein die beiden Rechenoperationen, die wir oben in den Aufgaben mit konkreten Zahlen verwendet haben[sup]*[/sup]:[br][table][tr][td][b]Addition:[/b][/td][td][math]\left( \begin{matrix}a_1\\a_2\\ \vdots\\a_n\end{matrix}\right)+\left( \begin{matrix}b_1\\b_2\\ \vdots\\b_n\end{matrix}\right)=\left( \begin{matrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\\ \vdots\\a_n+b_n\end{matrix}\right)[/math][/td][/tr][tr][td][b]Multiplikation mit einer reellen Zahl[/b][b]:[/b][/td][td][math]r\cdot\left( \begin{matrix}a_1\\a_2\\ \vdots\\a_n\end{matrix}\right)=\left( \begin{matrix}r\cdot a_1\\r\cdot a_2\\ \vdots\\r\cdot a_n\end{matrix}\right)[/math][/td][/tr][/table][/size][size=100][size=150][sup]*[/sup][/size] Die Subtraktionen in Aufgabe 2 hätten wir auch als Addition der Gegenzahlen schreiben können.[/size]
Sprechweisen
[size=150][b]Tupel[/b], mit denen so gerechnet wird, bezeichnet man auch als [b]Vektoren[/b].[br]In den obigen Aufgaben kann also von [i]Preisvektoren[/i], [i]Massenvektoren[/i], [i]Koeffizientenvektoren[/i] gesprochen werden.[br][br][i]Bemerkung:[/i][br]Vektoren können sehr unterschiedlich definiert werden; hier geht es um den [i]algebraischen Aspekt[/i] des Vektorbegriffs.[/size]
Koordinatenvektoren
Parallelverschiebung (kurz: Schiebung)
Aufgabe 1
[size=150]Das Dreieck ABC wird verschoben, der Bildpunkt von A ist A':[br][math]A=(-2|4),\ B=\left(1|5\right),\ C=\left(-1|6\right);\ A'=\left(1\left|-1\right|\right).[/math][br][br]a) Konstruiere das Bilddreieck A'B'C' und bestimme die Koordinaten von B' und C'.[br][br]b) Welcher Zusammenhang zwischen den Koordinaten der Original- und der Bildpunkte ist zu erkennen?[/size]
[size=150]c) Schreibe die Gleichungen von Aufgabe 1b übersichtlicher mit Hilfe von Koordinatenvektoren (Siehe: [i]Rechnen mit Tupeln[/i]).[/size]
[size=150]Wir erkennen, was die drei Koordinatenvektoren in den Additionen bedeuten:[br][br][math]\bf \it \begin{array}\textcolor{blue}A&+&\textcolor{orange}\overrightarrow{AA'}&=&\textcolor{green}{A'}\\[br]\bf \it \textcolor{blue}B&+&\textcolor{orange}\overrightarrow{BB'}&=& \textcolor{green}{B'}\\[br]\bf \it \textcolor{blue}C&+&\textcolor{orange}\overrightarrow{CC'}&=& \textcolor{green}{C'}\\ \\[br]\bf \it \textcolor{blue}{Originalpunkt}&+&\textcolor{orange}{Pfeil}&=& \textcolor{green}{Bildpunkt}\end{array}[br][/math][br][br](Die drei Pfeile haben den gleichen Koordinatenvektor.)[/size]
Aufgabe 2
[size=150]Stelle die folgenden Vektoren [br]a) durch je einen Punkt, [br]b) durch je drei Pfeile mit den Anfangspunkten (2|2), (-1|3) und (3|-1) dar: [br][br][math]a=\binom{4}{2},\ \ b=\binom{-2}{3},\ \ c=\binom{-4}{-2}[/math].[/size][br][br](Beschrifte die Punkte mit A, B, C und die Pfeile mit [math]\vec{a},\ \vec{b},\ \vec{c}[/math].)
Lösung
Aufgabe 3
[size=150]a) Die Koordinaten eines Punktes geben an, wie man vom Nullpunkt zu diesem Punkt gelangt.[br]Ergänze: [i]Die Koordinaten eines Pfeils geben an, wie man ...[br][br][/i]b) Welche geometrischen Beziehungen bestehen zwischen Pfeilen, die die gleichen Koordinaten haben?[/size]
Zusammenfassung
[size=150]Ein [b]Vektor[/b] kann zwei verschiedene [i]geometrische Bedeutungen[/i] haben:[br][list][*][b]Punkt[/b],[/*][*]Menge von unendlich vielen [b]Pfeilen[/b], die [i]parallel[/i], [i]gleich lang[/i] und [i]gleich orientiert[/i] sind.[/*][/list]Das ist der [i]geometrische Aspekt[/i] des Vektorbegriffs.[/size]
Pfeile addieren
Schiebungen verketten
Eine Figur wird mit dem Vektor [math]\vec{a}[/math] verschoben, die Bildfigur anschließend mit dem Vektor [math]\vec{b}[/math].[br]Mit welchem Vektor [math]\vec{c}[/math] kann die Figur direkt von der Anfangsposition in die Endposition verschoben werden?
Verändere die Vektoren [math]\vec{a}[/math] und [math]\vec{b}[/math], indem du die Punkte P, P' und P'' mit der Maus verschiebst.
Aufgabe 1
Welcher Zusammenhang besteht zwischen den drei Schiebungsvektoren?
Aufgabe 2
Begründe allgemein, dass [math]\vec{a}+\vec{b}=\vec{c}[/math] gilt.[br][br][i]Anleitung:[/i] [br]Setze [math]\vec{a}=\overrightarrow{PP'}[/math] usw.
Vektoraddition mit Pfeilen (1. Art)
[size=150][list][*]Man hängt den zweiten Pfeil an die Spitze des ersten an. [/*][*]Der direkte Weg vom Anfangspunkt des ersten zur Spitze des zweiten Pfeils stellt die Summe dar.[/*][/list][/size]
Man kann die Summe zweier Vektoren auch auf eine andere Art mit Pfeilen darstellen.[br]Betätige den Schieberegler:
Vektoraddition mit Pfeilen (2. Art)
[size=150][list][*]Man stellt beide Vektoren als Pfeile mit gemeinsamem Anfangspunkt dar und ergänzt zu einem Parallelogramm. [/*][*]Die Diagonale des Parallelogramms stellt die Summe der Vektoren dar.[/*][/list][/size]
Geradlinige Bewegung
Beispiel
Ein Käfer befindet sich zum Zeitpunkt [i]t[/i] = 0 s im Punkt P.[br]Er bewegt sich auf einer Geraden mit konstanter Geschwindigkeit, [br]der Geschwindigkeitsvektor sei [math]\vec{v}[/math] (in Längeneinheiten pro Sekunde).[br]
Aufgabe 1
a) Gib die Koordinaten von P und [math]\vec{v}[/math] an.[br][br]b) An welchem Ort X befindet sich der Käfer nach 1 s, 2 s, 3 s, [math]\frac{1}{2}[/math] s, vor 1 s?[br] Gib zu jedem [i]t[/i]-Wert (in [i]s[/i]) in der Tabelle die Koordinaten von X an.[br][br][math]\begin{array}\bf\it{t} & 0 & 1 & 2 & 3 & \frac{1}{2} & -1\\\bf\it{X} &... &... &... &... &... &... \end{array} [/math]
Aufgabe 2
Wie kann man X mit Hilfe von P und [math]\vec{v}[/math] berechnen? [br]Gib zu jedem [i]t[/i]-Wert in der Tabelle den passenden Term an.[br][br][math]\begin{array}\bf\it{t} & 0 & 1 & 2 & 3 & \frac{1}{2} & -1\\\bf\it{X} &\ \ \ \ &\ \ \ \ &\ \ \ \ &\ \ \ \ &\ \ \ \ &\ \ \ \ \end{array} [/math][br]
Bewege X, indem du t änderst.
Du erkennst:
[list][*]Jedem Wert von [i]t[/i] entspricht genau ein Punkt X der Geraden.[/*][*]Jedem Punkt X der Geraden entspricht genau ein Wert von [i]t[/i].[/*][/list] [math]t\leftrightarrow X[/math] [br] [br]Die Formel [math] \bold{X = P + t \cdot \vec{v}}[/math] beschreibt also - auch unabhängig von einer Bewegung - die Gerade, die durch den Punkt P und den Vektor [math]\vec{v}[/math] festgelegt ist.[br]Man nennt die Formel eine [b]Par[u]a[/u]meterdarstellung[/b] der Geraden.[br][math]\vec{v}[/math] nennt man einen[i] Richtungsvektor [/i]der Geraden, [i]t[/i] heißt [i]Par[u]a[/u]meter[/i].[br][br]Richtungsvektoren werden oft mit dem gleichen Buchstaben wie die Gerade bezeichnet, also z.B.[br] [i]g[/i]: X = P + [i]t[/i][math]\cdot\vec{g}[/math][br] [i]h[/i]: X = Q + [i]t[/i][math]\cdot\vec{h}[/math][br]
Aufgabe 3
a) Gib eine Parameterdarstellung der oben dargestellten Geraden [i]g[/i] (mit konkreten Zahlen) an.
b) Stelle durch Rechnung fest, ob der Punkt A = (3 | 2,5) auf [i]g[/i] liegt.
c) Bestimme y so, dass der Punkt B = (3 | y) auf [i]g[/i] liegt.
d) Berechne den Schnittpunkt S von [i]g[/i] mit der x-Achse.
Aufgabe 4a
Die Gerade [i]h[/i] geht durch die Punkte A = (-2 | -5) und B = (3 | 5).[br]Stelle fest, welche der folgenden Aussagen richtig sind.[br]([i]Nebenrechnungen und/oder Skizzen könnten hilfreich sein.[/i])
Aufgabe 4b
Begründe, warum die obigen Aussagen richtig bzw. falsch sind.
Betrag eines Vektors
Länge eines Pfeils
([i]P und Q können verschoben werden.[/i])[br][br]Die [b][color=#0000ff]Länge des Pfeils[/color][/b] [math]\vec{a}[/math] wird als [b][color=#0000ff]Betrag[/color][/b] [math]\left|\vec{a}\right|[/math] [b][color=#0000ff]des Vektors[/color][/b] bezeichnet.
Aufgabe 1
Wie wird der Betrag des Vektors [math]\vec{a}=\binom{-4}{3}[/math] berechnet?[br]
Allgemein gilt daher für den Betrag eines Vektors:[br][size=150][math]\textcolor{blue}{\vec{a}=\binom{a_1}{a_2}\Rightarrow \left|\vec{a}\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}}[/math][/size]
Aufgabe 2
Berechne die Länge der Strecke [AB]: A = (-2 | 3), B = (10 | -2).
Aufgabe 3
Gegeben ist die Strecke [PQ]: P = (-1 | 2), Q = (7 | 8).[br]Bestimme im Applet jenen Punkt R auf der Strecke, der von P den Abstand 3 hat.[br]Berechne dann seine Koordinaten.[br][br][i]Anleitung:[/i][br]Welche Beziehungen bestehen zwischen den Vektoren [math]\overrightarrow{PQ}[/math] und [math]\overrightarrow{PR}[/math]?
In Aufgabe 2 wurde der Vektor [math]\vec{a}=\binom{8}{6}[/math], der den Betrag 10 hat, mit [math]\frac{3}{10}[/math] multipliziert, um einen parallelen, gleich orientierten Vektor [math]\vec{b}[/math] mit dem Betrag 3 zu erhalten.[br][br][i]Man kann die Rechnung auch in zwei Schritten durchführen: [/i][br]Zuerst berechnet man einen Vektor [math]\vec{a_0}[/math] parallel zu [math]\vec{a}[/math] mit dem Betrag 1, daraus [math]\vec{b}[/math] mit dem Betrag 3.[br]
Der Vektor [math]\vec{a_0}[/math] mit dem Betrag 1, der zu [math]\vec{a}[/math] parallel und gleich orientiert ist, heißt [color=#0000ff][b]Einheitsvektor[/b][/color] von [math]\vec{a}[/math]:[br][size=150][math]\textcolor{blue}{\vec{a_0}=\frac{1}{\left|\vec{a}\right|}\cdot\vec{a}}[/math].[/size][br]
n-Tupel multiplizieren
Aufgabe 1a
In einer Teehandlung wird die Menge [i]m[/i] (in kg) einer Sorte zum Preis [i]p[/i] (in €/kg) verkauft.[br][br]Berechne den Verkaufserlös[i] E [/i]für [i]m[/i] = 14 kg und [i]p[/i] = 20 €/kg.[br]Stelle eine Formel für den Verkaufserlös auf.[br]
Aufgabe 1b
[br]Die Vektoren [i]m[/i] und [i]p[/i] geben die verkauften Mengen (in kg) und die Preise (in €/kg) von drei Teesorten an.[br][br]Berechne den Verkaufserlös [i]E[/i] für [math]m=\begin{pmatrix}14\\ 8\\ 3\end{pmatrix}kg[/math] und [math]p=\begin{pmatrix}20\\ 25\\ 30\end{pmatrix}€/kg[/math].[br]Stelle eine Formel für [i]E[/i] auf, wenn [math]m=\begin{pmatrix}m_1\\ m_2\\ m_3\end{pmatrix}[/math] und [math]p=\begin{pmatrix}p_1\\ p_2\\ p_3\end{pmatrix}[/math].
Der Term auf der rechten Seite der Formel für [i]E[/i] wird als [b]Skalarprodukt[/b] von [i]m[/i] und [i]p[/i] bezeichnet.[br]Man schreibt: [math]E=m\cdot p[/math].[br]Dabei sind [i]m[/i] und [i]p[/i] [b]Vektoren[/b] (hier: geordnete Tripel), [i]E[/i] aber ist eine [b]skalare Größe[/b] (Zahl mit Einheit).[br][br]Allgemein definiert man das Skalarprodukt zweier Vektoren im [math]\mathbb{R}^n[/math]:[br][math]\textcolor{blue}\bf\it{\begin{pmatrix}a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_n\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_n\end{pmatrix}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+...+a_n\cdot b_n}[/math]
Aufgabe 2
Zeige für geordnete Tripel, dass das Distributivgesetz gilt:[br][math]a\cdot\left(b+c\right)=a\cdot b+a\cdot c[/math]
Rechengesetze
Für [math]a, b, c \in \mathbb{R}^n [/math] und [math] r\in \mathbb{R}[/math] gilt:[br][br](1) [math]\textcolor{blue}\bf\it{a\cdot b=b\cdot a}[/math][br](2) [math]\textcolor{blue}\bf\it{r\left(a\cdot b\right)=\left(ra\right)\cdot b}[/math][br](3) [math]\textcolor{blue}\bf\it{a\cdot\left(b+c\right)=a\cdot b+a\cdot c}[/math][br][br]
Aufgabe 3
Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
Aufgabe 4
Verwende den Vektor [math]X=\binom{x}{y}[/math], um die linearen Gleichungen mit zwei Variablen in anderer Form anzuschreiben:[br]a) [math]10x+3y=-2[/math][br]b) [math]x-y=5[/math][br]c) [math]4y=-\frac{1}{3}[/math]
Aufgabe 5
Bei einem kurzen Test werden drei Fragen gestellt, die Antworten werden mit "richtig" oder "falsch" beurteilt.[br]Der Vektor [math]x=\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 2\\ 3\end{pmatrix}[/math] gibt an, wie viele richtige Antworten eine Testperson geben kann;[br]der Vektor [math]h=\begin{pmatrix}3\\ 2\\ 10\\ 5\end{pmatrix}[/math] gibt an, wie viele Testpersonen 0, 1, 2 bzw. 3 richtige Antworten gegeben haben;[br]außerdem ist der Vektor [math]e=\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}[/math] gegeben.[br]Berechne die folgenden Ausdrücke und gib ihre Bedeutung im vorliegenden Kontext an:[br]a) [math]e\cdot h[/math][br]b) [math]x\cdot h[/math][br]c) [math]\frac{1}{e\cdot h}x\cdot h[/math]
Geradengleichung
Wir haben eine Gerade bisher durch einen [b]Punkt[/b] und einen [b]Richtungsvektor[/b] festgelegt.[br]Im folgenden Applet ist statt des Richtungsvektors ein [b]Normalvektor[/b] gegeben.[br][i]g[/i]: P = (2 | 4), [math]\vec{n}=\binom{1}{-3}[/math].
Aufgabe 1a
Gib eine [b]Parameterdarstellung[/b] der Geraden [i]g[/i] an.
Aufgabe 1b
Setze für [i]X[/i] den Koordinatenvektor [math]\binom{x}{y}[/math] ein und drücke beide Koordinaten durch [i]t[/i] aus. [br]Eliminiere [i]t[/i], sodass [i]eine[/i] Gleichung für [i]x[/i] und y entsteht.
Aufgabe 2
Man kann auch ohne die Parameterdarstellung eine Gleichung der Geraden aufstellen:[br]a) Welche Beziehung besteht zwischen [math]\vec{n}[/math] und [math]\overrightarrow{PX}[/math]?[br]b) Drücke diese Beziehung durch eine Gleichung aus und setze wie oben die Koordinaten ein.
[i]Allgemein gilt also:[/i][br]Sei [i]g[/i] eine Gerade durch den Punkt P mit dem Normalvektor [math]\vec{n}[/math].[br]Ein Punkt X liegt genau dann auf [i]g[/i], wenn [math]\overrightarrow{PX}[/math] auf [math]\vec{n}[/math] normal steht. [br]Das ist zu folgenden Aussagen äquivalent: [br][math]\vec{n}\cdot\overrightarrow{PX}=0[/math],[br][math]\vec{n}\cdot\left(X-P\right)=0[/math],[br][math]\vec{n}\cdot X-\vec{n}\cdot P=0[/math],[br][math]\textcolor{blue}\bf\it{\vec{n}\cdot X=\vec{n}\cdot P}[/math].[br]Diese Gleichung bezeichnet man als [color=#0000ff][b]Normalvektorform[/b][/color] der Geradengleichung.
Aufgabe 3a
Die Gerade [i]g[/i] geht durch die Punkte A und B: A = (-3 | 4), B = (7 | -1).[br]Gib eine Gleichung von [i]g[/i] in Normalvektorform an und setze die Koordinaten ein.
Aufgabe 3b
(1) Stelle fest, ob P = (-14 | 9,5) und Q = (20 | -7) auf [i]g[/i] liegen.[br](2) Berechne die Schnittpunkte von [i]g[/i] mit den Koordinatenachsen.