Θέλουμε να διαγωνιοποιήσουμε έναν τετραγωνικό πίνακα A αλλά όχι μέσω της σχέσης [i]X[sup]-1[/sup]AX = L . [br][/i]Έστω δύο σύνολα ιδιαζουσών διανυσμάτων [code][/code][b]u=(u[sub]1[/sub],u[sub]2[/sub],...,u[sub]r[/sub]) [/b]και [b]v=(v[sub]1[/sub],v[sub]2[/sub],...,v[sub]r[/sub]) [/b]όπου r είναι η τάξη του πίνακα A. Οι συνιστώσες του διανύσματος [b]u[/b], ανήκουν στο χώρο στηλών του [i]A[/i] και αποτελούν τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα [i]AA[sup]T[/sup][/i] ενώ οι συνιστώσες του [b]v [/b]ανήκουν στο χώρο γραμμών του [i]A[/i] και αποτελούν τα ιδιοδιανύσματα του [i]A[sup]T[/sup]A. [/i]Οι πίνακες [i]AA[sup]T[/sup] [/i]και [i]A[sup]T[/sup]A[/i] είναι και οι δύο συμμετρικοί, και τα ιδιοδιανύσματα τους μπορούν να θεωρηθούν ορθοκανονικά δηλαδή να έχουν μηδενικό εσωτερικό γινόμενο. Ισχύει οι σχέση [i]AV = UΣ[/i] .

Δοθέντος του τετραγωνικού πίνακα [i]A[/i] υπολογίζω τον ανάστροφο [i]A[sup]T[/sup][/i] και στη συνέχεια το γινόμενο των δύο πινάκων [i]A[sup]T[/sup]A.[sup] [/sup][/i]Στη συνέχεια της λύσης ως πίνακας θεωρείται ο Α = [{2,2}; {-1,1}].

Στη συνέχεια υπολογίζουμε τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα [i]A[sup]T[/sup]A[/i] και κάνουμε κανονικοποίηση αυτών.

Βρίσκουμε τις θετικές τιμές του διαγώνιου πίνακα [i]Σ[/i] μέσω των ιδιοτιμών του [i]A[sup]T[/sup]A.[/i]

Υπολογίζουμε τα διανύσματα [b]u[/b] μέσω των [b]Av [/b]που βρίσκονται στην κατεύθυνση των [b]u.[/b]

[u][b]Σημείωση :[/b][/u] Μπορούμε να υπολογίσουμε τα διανύσματα [b]u [/b]από τα [b]v[/b]. Όμως μπορούμε και απευθείας από το γινόμενο [i]AA[sup]T[/sup][/i] και όχι από το [i]Α[sup]Τ[/sup]Α[/i]. Τα διανύσματα [b]u[/b] τότε, είναι τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα [i]AA[sup]T[/sup][/i].

Τελικά από τα παραπάνω προκύπτει ότι οι [b]singular values [/b]είναι οι [math]\sqrt{8}[/math] και [math]\sqrt{2}[/math] .