Sean [math]\alpha:\left(a,b\right)\longrightarrow\mathbb{R}^n[/math] y [math]\beta:\left(c,d\right)\longrightarrow\mathbb{R}^n[/math] curvas diferenciables. Se dice que [math]\beta[/math] es una reparametrización positiva de [math]\alpha[/math] si existe una función diferenciable [math]h:\left(c,d\right)\longrightarrow\left(a,b\right)[/math], tal que [math]h'\left(u\right)>0[/math] para todo [math]u\in\left(c,d\right)[/math].[br][br][br]Ejemplo: Sea [math]C_1=\left(2t,t^2\right)[/math] una curva en [math]\mathbb{R}^2[/math] en el intervalo [math]\left(-3,3\right)[/math]. Sea [math]h\left(u\right)=\frac{1}{2}u[/math], [math]h'\left(u\right)=\frac{1}{2}>0[/math] una función definida en el intervalo [math]\left(-6,6\right)[/math]. Entonces, [math]C_2=C_1\bigcirc h[/math] es una reparametrización de [math]C_1[/math]. [br][br][math]C_2=C_1\bigcirc h=\left(2\left(\frac{1}{2}u\right),\left(\frac{1}{2}u\right)^2\right)=\left(u,\frac{1}{4}u^2\right)[/math] [br][br]con [math]C_2:\left(-6,6\right)\longrightarrow\mathbb{R}^2[/math]

Se puede observar que la traza de [math]C_1[/math] es igual a la de [math]C_2[/math]. Dado que es una reparametrización y ,por lo tanto, [math]C_1[/math] y [math]C_2[/math] deben describir la misma curva. Sin embargo, la velocidad y la aceleración de la curva si cambian.

Quien determina cómo cambia la velocidad y la aceleración de una reparametrización de una curva es la función [math]h\left(u\right)[/math] que relaciona los dominios de las curvas [math]\alpha[/math] y [math]\beta[/math].[br][br]La velocidad de la reparametrización [math]\beta[/math] de [math]\alpha[/math] será: [br] [br] [math]\beta'\left(t\right)=\left(\alpha_1\left(h\left(t\right)\right)\cdot h'\left(t\right),...,\alpha_n\left(h\left(t\right)\right)\cdot h'\left(t\right)\right)[/math][br][br]Analogamente, la aceleración de [math]\beta[/math] está dada por [math]\beta''\left(t\right)[/math].[br][br]