中の定理の拡張その３

TriangleCenter(A, B, C, n_1)を使って、角度がぴったり同じ点（心）を調べる。等角共役点を結んだ線がオイラー線と平行になる場合はX_3，ⅹ_４，ⅹ_１３，ⅹ_１４，ⅹ_１５，ⅹ_１６の時。コツコツと３０００まで調べた。等角共役だからこれらの点はペアになっている。５点を結んだ二次曲線を作図してみたが違っていた。

オイラー線と平行になる等角共役点に当たる心

当然ながらペアになっている。（それぞれⅩの添え字番号）[br]　　　３ーーーーー４　外心ーーー垂心[br]　　１３ーーーー１５　第一フェルマー点ーーー第二等力点[br]　　１４ーーーー１６　第二フェルマー点ーーー第二等力点[br]　３９９ーー１１３８[br]　４８４ーー３０６５[br]　６１６ーー３４４０[br]　６１７ーー３４４１[br]１２７７ーー[br]１３３７ーー３４７９[br]１３３８ーー３４８０[br]２１３３－－

これらの点の共通点は何だろう？　二次曲線を作図すると、はみ出す点があるので二次曲線ではない。ではこれらの点を正確に作図するにはどうしたらいいのだろうか。

まず、等角共役点の軌跡を求めてみる。ＤをＵの垂線上において、locusコマンドでＥの軌跡を描いてみたら二次曲線（AとBを通る水色の双曲線）となった。双曲線のこの場合は、Ｄを動かしてみると平行になる位置が３つある。

もっとわかりやすくするため、Ｕからオイラー線に対して平行線ｅを引いて、その上にＤを置いてみた。すると二次曲線とｅの交点が求めたい等角共役点だとわかる。Ｕを動かしてみよう。なお、locusではなくLocusEquation(E, D)を使うとｅとの交点も求めることができる。

三角形の中だけで二次曲線を作図してみた。Ｒを動かしてみよう。ほぼあっているが少しずれる。２次ではなく３次曲線だと感じる。

作図完成。角度もぴったり合う。左下の▲をクリックしてアニメーションを動かしてみよう。楕円でなく卵型だ。もう一つの「中三角形」も作図してみよう。

「中の定理」の拡張

このシュミレーションによって、[br][b]オイラー線に平行な等角共役点の作る「中三角形」は△ABCと相似になる[br][/b]ことが示せた。[br]つまり、外心と垂心はこの特別な場合であり、「中の定理」の一つの拡張である。