Die [b]logistische Gleichung[/b] [math]x_{n+1}=a\cdot x_n\cdot(1-x_n)[/math] eignet sich zur Untersuchung der Eigenschaften von nichtlinearen dynamischen Systemen.[br][br][b]Der Zusammenhang von logistischer Gleichung und dem logistischem Wachstum[/b][br]Ein Populationsmodell, das durch logistisches Wachstum gekennzeichnet ist, wird durch folgende Differenzengleichung angegeben (zur Vereinfachung wird die Kapazitätsgrenze auf 1 gesetzt):[br][br][center][math]P_{n+1}=P_n+\text{λ}\cdot P_n\cdot\left(1-P_n\right)[/math][/center]Wenn man nun [math]a=\lambda+1[/math] und [math]x_n=\frac{a-1}{a}\cdot P_n[/math] setzt, so folgt [math]\lambda=a-1[/math] und [math]P_n=\frac{a}{a-1}\cdot x_n[/math] , und damit erhält man [center][math]\frac{a}{a-1}\cdot x_{n+1}=\frac{a}{a-1}\cdot x_n+\left(a-1\right)\cdot\frac{a}{a-1}\cdot x_n\cdot\left(1-\frac{a}{a-1}\cdot x_n\right)[/math][br][math]x_{n+1}=x_n+\left(a-1\right)\cdot x_n\cdot\left(\frac{a-1-a\cdot x_n}{a-1}\right)[/math][br][math]x_{n+1}=x_n+a\cdot x_n-x_n-a\cdot x_n^2[/math][br][br][math]x_{n+1}=a\cdot x_n\left(1-x_n\right)[/math][br][/center]Damit ist gezeigt, dass das Verhalten einer logistischen Populationsdynamik äquivalent ist zum Verhalten der logistischen Gleichung, wenn die Parameter entsprechend angepasst werden.[br][br][b]Aufgabe[/b][br]Verändere mit dem Schieberegler den Wert für a.[br]Stelle einen beliebigen Startwert [math]x_0[/math] ein und beobachte die Auswirkungen.