Sie haben als Hobby die Imkerei für sich entdeckt. Nun verkaufen Sie den Honig auf dem Markt. Von den Kolleg:innen aus dem Imker-Verein haben Sie erfahren, dass es zwischen dem Absatz Ihres Honigs und dem Preis einen linearen Zusammenhang gibt:
Die Preis-Absatz-Funktion lautet .
Ihre Fixkosten kalkulieren Sie mit und Ihre Kosten pro Honigglas betragen in der Herstellung .
Bestimmen Sie die Gewinnfunktion für diese Situation und bestimmen Sie dann grafisch den Preis für die Menge , bei der Sie den größten Gewinn machen.
Mit dem so bestimmten Preis können Sie sicherstellen, dass genau so viel Gläser verkauft werden, dass Sie einen maximalen Gewinn erzielen. Diese beiden Zahlen, gewinnmaximierende Menge und der dazu passende Preis, nennen sich der Cournot'sche Punkt C:
Wie lauten die Funktionsgleichungen, die für diese Aufgabe benötigt werden?
Die Einheit für die Mengen sind im Folgenden die Anzahl der Gläser und Preise, Kosten, erlös und Gewinn werden in Euro angegeben. In den folgenden Rechnungen werden die Einheiten weggelassen, weil die Gleichugnen dann übersichtlicher werden.
Gegeben ist die Preis-Absatz-Funktion:
Damit ist die Erlösfunktion:
Die Fixkosten betragen und die variablen Kosten pro Glas sind . Damit lautet die Kostenfunktion:
Nun können wir auch die Gewinnfunktion bestimmen:
Bestimmen Sie nun mit Hilfe der Funktionsgleichungen den Preis , bei dem der Absatz maximal ist.
- Stellen Sie die oben errechneten Funktionen mit Geogebra grafisch dar.
- Bestimmen Sie die Warenmenge , bei der der Gewinn maximal ist.
- Berechnen Sie dann mit Hilfe der Preis-Absatz-Funktion den gesuchten Preis
Damit lautet der Cournot'sche Punkt