Una disequazione [b]irrazionale elementare semplice[/b] del tipo:[center][math]\large \sqrt[n]{R\left(x\right)}\gtrless P(x)\quad n\ge3\quad\text{ dispari}[/math][/center]si risolve nel modo seguente[br][center][math]\large\bf\it R\left(x\right)\gtrless [P(x)]^n[/math][/center][left]_________________________________________________________________________________________________________[/left]Nel caso particolare in cui[center][math]\large \sqrt[n]{R\left(x\right)}\gtrless a\quad n\ge3\quad\text{ dispari},\;a\in\mathbb{R}[/math][/center]si sviluppa in[center][math]\large\bf\it R\left(x\right)\gtrless a^n[/math][/center]indipendentemente dal segno di [b]a[/b].

Risolvere la seguente disequazione irrazionale:[br][center][math]\large \sqrt[3]{x^2-6x-56}\le-4[/math][/center]Essendo l'indice dispari è sufficiente elevare entrambi i membri al cubo:[br][math]\sqrt[3]{x^2-6x-56}\le-4\ \longrightarrow\ x^2-6x-56\le-64\ \longrightarrow\ x^2-6x+8\le0[/math][br]Si risolve la disequazione di secondo grado risolvendo per prima cosa l'equazione associata:[br][math]x_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{36-32}}{2}=\frac{6\pm2}{2}=\begin{matrix}\nearrow&\bf 2\\[br]\searrow&\bf 4\end{matrix} [/math][br]Considerando il verso della disuguaglianza, le soluzioni saranno i valori interni all'intervallo di estremi le due soluzioni dell'equazione, ovvero:[br][center][math]\large\bf 2\le x\le 4 [/math][/center]

[list][*]Con il bottone [b]"GENERA ESPRESSIONE"[/b] si crea un nuovo esercizio, nasconde il risultato qualora sia visibile e mostra il bottone "Mostra risultato" qualora sia nascosto.[/*][*]Con lo slider [b]"Val. max" [/b]è possibile variare il valore massimo dei numeri.[/*][*]Con lo slider [b]"° max" [/b]è possibile fissare il grado massimo dell'espressione radicando.[/*][*]Con lo slider [b]"ind. max" [/b]è possibile fissare il valore massimo dell'indice di radice.[/*][*]Il bottone [b]"Mostra risultato"[/b] se premuto scompare e visualizza il risultato[/*][*]Con gli strumenti penna e cancella è possibile risolvere l'esercizio nello spazio dedicato.[/*][/list]

Risolvere la seguente disequazione irrazionale:[br][center][math]\large \sqrt[3]{18x^2+37x+70}\ge x+4[/math][/center]Essendo l'indice dispari è sufficiente elevare entrambi i membri al cubo:[br][math]\begin{array}{l}\sqrt[3]{18x^2+37x+70}\ge x+4\ \longrightarrow\ 18x^2+37x+70\ge\left(x+4\right)^3\ \longrightarrow\ 18x^2+37x+70\ge x^3+12x^2+48x+64\ \longrightarrow\dots\longrightarrow\\[br]\longrightarrow\ \large\bf x^3-6x^2+11x-6\le0\end{array}[/math][br]Si risolve la disequazione di terzo grado risolvendo per prima cosa l'equazione associata:[br][math]\begin{array}{l}x^3-6x^2+11x-6=0\ \longrightarrow\ \text{Metodo di Ruffini}\ \longrightarrow\ \bf{ x=1}\ \longrightarrow\ 1-6+11-6=0\\ \\[br]\begin{array}{r|ccc|l}[br] & 1 & -6 & 11 & -6\\ [br]1 & & 1 & -5 & 6\\[br]\hline[br] & 1 & -5 & 6 & /\end{array}[br]\longrightarrow\ (x-1)\cdot(x^2-5x+6)=0 \\[br]x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{25-24}}{2}=\frac{5\pm1}{2}=\begin{matrix}\nearrow&\bf x=2\\[br]\searrow&\bf x=3\end{matrix} \longrightarrow\ \bf\left\{1,2,3\right\}[br]\end{array}[/math][br]Si realizza il grafico dei segni per la risoluzione della disequazione:[br][center][img]https://docs.google.com/drawings/d/e/2PACX-1vTLc5tJsbq-pOWGeYDADWZJ8uiz4s5f8JtV2tR0j7KMjTqKJT7ynPqWkWCN3nM2MKCTLHNaDv8HzpSj/pub?w=648&h=144[/img][/center]Considerando il verso della disuguaglianza, le soluzioni sono quelle individuate dal segno negativo, ovvero:[br][center][math]\large\bf x\le1\ \vee2\le x\le3 [/math][/center]

[list][*]Con il bottone [b]"GENERA ESPRESSIONE"[/b] si crea un nuovo esercizio, nasconde il risultato qualora sia visibile e mostra il bottone "Mostra risultato" qualora sia nascosto.[/*][*]Con lo slider [b]"Val. max" [/b]è possibile variare il valore massimo dei numeri.[/*][*]Con lo slider [b]"° max" [/b]è possibile fissare il grado massimo dell'espressione radicando.[/*][*]Il bottone [b]"Mostra risultato"[/b] se premuto scompare e visualizza il risultato[/*][*]Con gli strumenti penna e cancella è possibile risolvere l'esercizio nello spazio dedicato.[/*][/list]