Im nächsten Applet wird ein Würfelwurf mit einer größeren, aber unbekannten Anzahl Spielwürfel simuliert. Es werden wieder die Anzahl «1er» gezählt. [br]Würfele mehrere Male und schätze mithilfe des Mittelwerts [math]\={Z}[/math] wieviele Würfeln insgesamt gewürfelt wurden. [br]Beschreibe: Wie bist Du vorgegangen? Wie genau wird den Schätzwert sein?
Erwartungswert [math]\mu[/math]= Anzahl der Würfel [math]N[/math] [math]\cdot[/math] Erfolgschance pro Würfel [math]p[/math][br][math]\Longrightarrow[/math] Erwartungswert [math]\mu[/math] [math]\div[/math] Erfolgschance pro Würfel [math]p[/math] = Anzahl der Würfel [math]N[/math][br]Benutze den Mittelwert [math]\={Z}[/math] als Schätzwert für den unbekannten Erwartungswert [math]\mu[/math].[br]Beispiel: [math]N = 200\div\frac{1}{6}=1200[/math] oder [math]N = 250\div\frac{1}{6}=1500[/math][br][br]Der Mittelwert [math]\={Z}[/math] streut "in der Nähe" des Erwartungswerts [math]\mu[/math]. Die Differenz zum Erwartungswert wird bei der Berechnung der Würfelanzahl also um den Faktor 6 vergrößert! Der Schätzwert ist sehr wahrscheinlich nicht exakt.
Lies die drei folgenden Informationen bezüglich der Fehlergrößen von Messwerten. Berechne: Wie groß bzw. klein ist der Standardfehler des Mittelwerts [math]\sigma_{\={Z}}=\frac{\sigma}{\surd n}[/math] im Vergleich zur Standardabweichung [math]\sigma[/math] nach n=49 Würfen?
Der Standardfehler des Mittelwerts beträgt nach n=49 Würfen nur 1/7 der Standardabweichung.
Die Standardabweichung [math]\sigma = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (Z_i -\bar{Z})^2}[/math] gibt ein Maß für den Fehler jeder Messung bzw. Stichprobe. [br]Im Intervall [math]I_1=\={Z}\pm\sigma[/math] liegen etwa 68% aller Stichproben-Ergebnisse. [br]Im größeren Intervall [math]I_2=\={Z}\pm2\sigma[/math] liegen sogar etwa 95% aller Stichprobenergebnisse.
Der Standardfehler des Mittelwert [math]\sigma_{\mu}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}[/math] liefert eine "bessere", d.h. genauere Abschätzung für den Fehler bzw. die Differenz zum unbekannten Erwartungswert.[br]Im Intervall [math]I_3=\={Z}\pm\sigma_{\={Z}}[/math] liegt der "wahre" Erwartungswert [math]\mu[/math] mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 68%. [br]Im größeren Intervall [math]I_4=\={Z}\pm2\sigma_{\={Z}}[/math] liegt der Erwartungswert [math]\mu[/math] mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 95%.
Der Relative Fehler [math]\sigma_{rel}=\frac{\sigma}{\bar{Z}}[/math] gibt an wie groß die Streuung der Messwerte in Bezug auf den Mittelwert [math]\={Z}[/math] ist. Typischerweise wächst bei einer größeren Anzahl Würfel der Mittelwert schneller als die Standardabweichung, sodass der Relative Fehler insgesamt kleiner wird.
Mit wievielen Würfeln wurde der Versuch wahrscheinlich durchgeführt? Gib ein Schätzintervall [math]I[/math] mit 95%-Sicherheit an.
Beispiel: [math]\={Z}\cdot6=224\cdot6=1344[/math] [br][math]2\cdot\sigma_{\={Z}}\cdot6=2\cdot2\cdot6=24[/math][br][math]I=1344\pm24[/math] bzw. [math]I=[1320,1368][/math]