Függvény értelmezése
Az f valós változójú valós függvényt az f(x)=(x-3)^2+1 függvényértékkel adjuk meg, és az ábrán nyomon követhető az értelmezési tartomány egy részhalmazán, az [1,6] intervallumon a függvénykapcsolat.
Látható, hogy amenyiben a függvényt leszűkítjük az adott [1,6] intervallumra, és és értéktartományát az [1,10] intervallumra, akkor a függvény, ami eredetileg sem szürjektív, sem injektív nem volt, a leszűkítésben szürjektív, de nem injektív.
A két függvény csak egy pontban, az x=1 pontban tér el
Az első függvény az f_1(x) = (x-1)/(x^2-x), amit a P pont ír le, a második az f_2(x)=1/x, amit a Q pont írle.[br]A t paraméter animálásával megfigyelhető a kritikus ponton az eltérés: a P pont nem létezik (undefined) a t=1 (x=1) pontban, de a Q igen, így a két függvény ezen az egy ponton eltér egymástól. Pontosabban az f_1 függvénynek az x=1 nem tartozik az értelmezési tartományához, itt úgynevezett hézagpontja van, ugyanakkor az f_2 függvény értelmezett az x=1 értéknél.[br]A két függvényről még jó tudni, hogy x=0 pontban mindkettőnek függőleges asszimptótája az x=0 egyenes, ezt szokás még páratlan pólusnak is mondani, mivel a függvények jobb és baloldali határértke ebben a pontban végtelen, még pontosabban -végtelen/+ végtelen.
Hatványfüggvények
Az f(x) =b (x-c)^n+d függvény tanulmányozhatók ezek az elemi hatványfüggvények, valamint a paraméterek változtatásával szemléltethetők a különböző függvénytranszformációk.[br]A g(k x) hasonlóan szemlélteti a független változóban véghezvitt k tényezővel szorzás hatását.
A sinh(x) és inverze
A függvény és inverzének képe az első negyed szögfelezőjére tükörképei egymásnak.