Freshmen konzultáció - 1. Függvényábrázolás

Körtesi Péter, Oct 15, 2017

Az EFOP-3-4-3-16-2016-00015 "Főnix ME" - Megújuló Egyetem Felsőoktatási intézményi fejlesztések a felsőfokú oktatás minőségének és hozzáférhetőségének együttes javítása érdekében c. projekt 8. Hallgatói innováció részprojekt Lemorzsolódást csökkentő akciói körében Freshmen Matematikai konzultációk keretében készült sorozat része. A függvényábrázolás egyik legjobb segédeszköze a GeoGebra, de a hallgatóknak előbb meg kell ismerniük a függvény fogalmát, az elemi függvények legfontosabb tulajdonságait, a függvények transzformációit, és azt, hogy a függvények tanulmányozásához hogyan használhatjuk fel a határérték számítás és a deriválás eredményeit, tulajdonságait. A következő GeoGebra könyv ezeknek a tudnivalóknak egy rövid összefoglalása, és a szoftver lehetőségeit kihasználva a legfontosabb fogalmak szemléltetése.

Table of Contents

  1. Függvény fogalma
    1. Függvény értelmezése
    2. Az inverz reláció nem mindig függvény
  2. A függvény grafikus képe
    1. A két függvény csak egy pontban, az x=1 pontban tér el
  3. Elemi függvények
    1. Hatványfüggvények
    2. rac-2
    3. Rac-31
    4. Az a alapú exponenciális és logaritmus függvények
  4. Függvény inverze
    1. A sinh(x) és inverze
    2. parabola-inverze-1

1.

Függvény fogalma

Adott E (E=Dom f), az értelmezési tartomány, és F (F=Codom f) a függvény értéktartománya. Az E és F halmazok közti f relációt függvénynek (függvényrelációnak) nevezzük, jelölje f:E->F, ha a következő két feltétel egyidejűleg teljesül: a) Az E minden x elemének van legalább egy y megfelelője (képe) az F-ben, és ezt y=f(x) jelöli. b) Az E bármely x elemének nincs több mint egy y megfelelője (képe) az F-ben. [b]Megjegyzés:[/b] A két feltétel közös mondatba foglalható: Az E minden x elemének pontosan egy y megfelelője (képe) van az F-ben, és ezt y=f(x) jelöli.

  • 1. Függvény értelmezése
  • 2. Az inverz reláció nem mindig függvény

1.1.

Függvény értelmezése

Az f valós változójú valós függvényt az f(x)=(x-3)^2+1 függvényértékkel adjuk meg, és az ábrán nyomon követhető az értelmezési tartomány egy részhalmazán, az [1,6] intervallumon a függvénykapcsolat.
Látható, hogy amenyiben a függvényt leszűkítjük az adott [1,6] intervallumra, és és értéktartományát az [1,10] intervallumra, akkor a függvény, ami eredetileg sem szürjektív, sem injektív nem volt, a leszűkítésben szürjektív, de nem injektív.
– Körtesi Péter

1.2.

–

2.

A függvény grafikus képe

  • 1. A két függvény csak egy pontban, az x=1 pontban tér el

2.1.

A két függvény csak egy pontban, az x=1 pontban tér el

Az első függvény az f_1(x) = (x-1)/(x^2-x), amit a P pont ír le, a második az f_2(x)=1/x, amit a Q pont írle.[br]A t paraméter animálásával megfigyelhető a kritikus ponton az eltérés: a P pont nem létezik (undefined) a t=1 (x=1) pontban, de a Q igen, így a két függvény ezen az egy ponton eltér egymástól. Pontosabban az f_1 függvénynek az x=1 nem tartozik az értelmezési tartományához, itt úgynevezett hézagpontja van, ugyanakkor az f_2 függvény értelmezett az x=1 értéknél.[br]A két függvényről még jó tudni, hogy x=0 pontban mindkettőnek függőleges asszimptótája az x=0 egyenes, ezt szokás még páratlan pólusnak is mondani, mivel a függvények jobb és baloldali határértke ebben a pontban végtelen, még pontosabban -végtelen/+ végtelen. 
– Körtesi Péter

3.

Elemi függvények

  • 1. Hatványfüggvények
  • 2. rac-2
  • 3. Rac-31
  • 4. Az a alapú exponenciális és logaritmus függvények

3.1.

Hatványfüggvények

Az f(x) =b (x-c)^n+d függvény tanulmányozhatók ezek az elemi hatványfüggvények, valamint a paraméterek változtatásával szemléltethetők a különböző függvénytranszformációk.[br]A g(k x) hasonlóan szemlélteti a független változóban véghezvitt k tényezővel szorzás hatását.
– Körtesi Péter

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

4.

Függvény inverze

  • 1. A sinh(x) és inverze
  • 2. parabola-inverze-1

4.1.

A sinh(x) és inverze

A függvény és inverzének képe az első negyed szögfelezőjére tükörképei egymásnak.
– Körtesi Péter

4.2.

–

Information