Geometriai inverzió

Tarcsay Tamás, May 4, 2019

A geometriai inverzió tárgyalásának két módszerét tekintjük át. A közös bennük az, hogy a GeoGebra lehetőségeit mindkettőben kihasználjuk.

Table of Contents

  1. Bevezetés
    1. Technikai tudnivalók (48.)
  2. A kísérleti matematika módszerével
    1. K00 Kísérleti matematika
    2. K01 Geometriai inverzió
    3. K02 Egyenes képe
    4. K03 Kör képe
    5. K04 Szögtartás
    6. Kúpszeletek inverzei
    7. Szabályos n-szög inverze
    8. Kétismeretlenes egyenlettel adott görbe inverze
  3. Matematikusabban
    1. M01 Geometriai inverzió
    2. M02 Egyenes képe
    3. M03 Kör képe
    4. M04 Szögtartás
  4. Szerkesztési feladatok
    1. Sz01 Pont képének szerkesztése
    2. Sz02 Adott két kör ...
    3. Sz03 Adott két egyenes, ...
    4. Sz04 Adott a síkban 3 különböző pont, ...
  5. Problémák, feladatok
    1. P01 Egy ABCD négyzet tetszőleges
    2. P02 Milyen négyszög csúcsai
    3. P03 Körök sorozata
    4. P04 Két kör, ...
    5. P06 Dr. Pintér Lajos problémája
    6. P07 Két egymáson kívül levő kör ...
    7. P08 KöMaL 1971. január
    8. P09 Adva van egy kör ...
    9. P10 Adott a síkban 3 különböző pont.

1.

Bevezetés

  • 1. Technikai tudnivalók (48.)

1.1.

Technikai tudnivalók (48.)

[size=85][list=1][*]A GeoGebra tananyagok appleteket tartalmaznak.[/*][*]Minden applet jobb alsó sarkán egy négyzetet tartalmazó gomb látható, erre kattintva az applet "kinyílik". Az egész képernyőt elfoglalja. Ha még egyszer kattintunk, akkor az applet visszanyeri eredeti méretét.[/*][*]Az appletek nagy részén vezérlő gombok találhatók:[br]"T" - egy előre lépés (Ha eltűnik, akkor nem lehet tovább előre lépni.)[br]"V" - egy visszalépés[br]"C" - újra kezdés[/*][*]Ha az appletek animációkat tartalmaznak, akkor az applet alján az animációt indító, és leállító gombok találhatók[/*][*]Ha nyomvonalat rajzoltatunk az appletben, akkor a kép kis mozgatásával törlődik a nyomvonal,[/*][/list][/size]
– Tarcsay Tamás

2.

A kísérleti matematika módszerével

A geometriai inverzióval kísérletezve ismerkedhetünk meg.

  • 1. K00 Kísérleti matematika
  • 2. K01 Geometriai inverzió
  • 3. K02 Egyenes képe
  • 4. K03 Kör képe
  • 5. K04 Szögtartás
  • 6. Kúpszeletek inverzei
  • 7. Szabályos n-szög inverze
  • 8. Kétismeretlenes egyenlettel adott görbe inverze

2.1.

K00 Kísérleti matematika

[size=85]Ebben a fejezetben a [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/K%C3%ADs%C3%A9rleti_matematika]"kísérleti matematika"[/url] módszereivel ismerkedünk meg a tárgyalt anyaggal. A közölt GeoGebra appletek a matematikai fogalmi rendszer [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Modell_(tudom%C3%A1ny)]modell[/url]jét jelentik. Ezekben végzett kísérletek alapján sejtéseket fogalmazhatunk meg. Ezeket a sejtéseket az "igazi" matematikában bizonyítani kell. Ettől ebben a fejezetben eltekintünk.[/size][br]
– Tarcsay Tamás

2.2.

–

2.3.

–

2.4.

–

2.5.

–

2.6.

–

2.7.

–

2.8.

–

3.

Matematikusabban

A geometria inverzióval deduktívabb módon ismerkedhetünk meg.

  • 1. M01 Geometriai inverzió
  • 2. M02 Egyenes képe
  • 3. M03 Kör képe
  • 4. M04 Szögtartás

3.1.

M01 Geometriai inverzió

[size=85]A középiskolai geometria tanulmányok során eljutunk a [url=https://player.slideplayer.hu/10/2965661/#]hasonlósági transzformáció[/url]hoz. Megadjuk a definícióját, és a tulajdonságait. Ezek közül a legfontosabbak: [url=http://wiki.vmg.sulinet.hu/doku.php?id=matematika:geometria:transzformaciok:egyenestarto]egyenestartó[/url], [url=http://www.altsuli.hu/matf/keretgeotrhasonl.html]szögtartó aránytartó.[/url] Ezután vizsgáljuk a következő geometriai transzformációt![/size]
Definíció
[size=85]Adott a síkon egy [i]O [/i]középpontú, [i]r[/i] sugarú [i]k[/i][sub]o[/sub] kör. A sík [i]O[/i]-tól különböző [i]P [/i]pontjához rendeljük az [i]OP [/i]félegyenes azon [i]P'[/i] pontját, melyre igaz, hogy [math]OP\cdot OP'=r^2[/math][/size]. [size=85]Az így definiált geometriai transzformációt [i]O[/i] pólusú, [i]k[/i][sub]o[/sub] alapkörű, [i]r[/i][sup]2[/sup] hatványú [b]geometriai inverzió[/b]nak nevezzük. Vizsgáljuk a geometriai inverziót a GeoGebrával![/size]
[size=85]A GeoGebra [icon]/images/ggb/toolbar/mode_mirroratcircle.png[/icon] gombja egy lépésben végzi el a transzformációt.[br][br][size=85]A definíció alapján nyiilvánvaló, hogy az alapkörön kívüli pontokhoz az alapkörön belüli pontok rendelődnek és fordítva, az alapkör pontjainak a képei önmaguk, így az alapkör pontjai [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Fixpont]fixpont[/url]ok. Az is nyilvánvaló, hogy a pólustól megfosztott sík bármely pontja képének a képe önmaga (szimmetrikus transzformáció).[br][/size][size=85]A tengelyes tükrözéshez való hasonlósága miatt szokták ezt a transzformációt körre [url=http://dl-sulinet.educatio.hu/download/hirmagazin/cikkek/matek/geoinv/geoinv.html]vonatkozó tükrözés[/url]nek is hívni.[/size][br][/size]
– Tarcsay Tamás

3.2.

–

3.3.

–

3.4.

–

4.

Szerkesztési feladatok

Az ilyen feladatok a mai matematikaoktatásban háttérbe szorulnak. Ez nem szerencsés, mert így sok értékes gondolat nem kerül a felszínre. Az itt következő feladatok közül lehet/érdemes válogatni.

  • 1. Sz01 Pont képének szerkesztése
  • 2. Sz02 Adott két kör ...
  • 3. Sz03 Adott két egyenes, ...
  • 4. Sz04 Adott a síkban 3 különböző pont, ...

4.1.

Sz01 Pont képének szerkesztése

[size=85]Szerkesszük meg a [i]P[/i] pont [i]k[/i][sub]o[/sub]-ra vonatkozó inverz képét![/size]
Alapkörön kívüli pont esetén
Alapkörön belüli pont esetén
– Tarcsay Tamás

4.2.

–

4.3.

–

4.4.

–

5.

Problémák, feladatok

A geometriai inverzió felhasználásával megoldható feladatok, problémák gyűjteménye.

  • 1. P01 Egy ABCD négyzet tetszőleges
  • 2. P02 Milyen négyszög csúcsai
  • 3. P03 Körök sorozata
  • 4. P04 Két kör, ...
  • 5. P06 Dr. Pintér Lajos problémája
  • 6. P07 Két egymáson kívül levő kör ...
  • 7. P08 KöMaL 1971. január
  • 8. P09 Adva van egy kör ...
  • 9. P10 Adott a síkban 3 különböző pont.

5.1.

P01 Egy ABCD négyzet tetszőleges

[size=85]belső pontja [i]P[/i]. Tekintsünk egy [i]P[/i] pólusú tetszőleges hatványú inverziót! Milyen négyszöget határoznak meg a négyzet inverz képei?[/size]
A sejtéshez
Sejtés
[size=85]A vizsgált négyszög [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/H%C3%BArn%C3%A9gysz%C3%B6g]húrnégyszög[/url],[/size]
Bizonyítás
[size=85]Ezek után gondolkodjunk el azon, hogy mit használtunk fel a bizonyítás során! Csak annyit, hogy az [i]ABCD [/i]minden szöge derékszög. Ebből következően igaz a fent bizonyított állítás téglalap estében is.[br][/size][size=85]Lehet tovább általánosítani?[/size]
Általánosítás
[size=85]Az [i]ABCD [/i][url=https://matekarcok.hu/hurnegyszogek-tetele/]húrnégyszög [/url]tetszőleges belső [i]P [/i]pontja egy inverzió pólusa. A négyszög csúcsainak képei egy húrnégyszög csúcsai.[br][br][/size][size=85]Kérdés lehet az is, hogy milyen kapcsolat lehet a problémában szereplő körök között.[/size]
Egy újabb sejtés
[size=85]Az adott [i]P[/i] pont adott négyszög köré írt körre vonatkozó inverz képének a [i]P[/i] pólusú inverzióval kapott képe, az adott négyszög csúcsainak inverzei köré írt kor középpontja.[br][br][/size][size=85]A sejtés bizonyítása az olvasóra vár. Réges régen [url=https://www.kisalfold.hu/gyori_hirek/revais_siker_szuletett_a_matekolimpian_del-afrikaban_-_video_fotok/2426368/]Árki Tamás tanár úr[/url] mondta, hogy ez egy körsorokra vonatkozó tétel következménye.[/size]
– Tarcsay Tamás

5.2.

–

5.3.

–

5.4.

–

5.5.

–

5.6.

–

5.7.

–

5.8.

–

5.9.

–

Information