Legyen [i]A[sub]1[/sub], B[sub]1[/sub], C[sub]1[/sub] [/i]a gömbfelület három általános helyzetű pontja![br][br]Ezek három gömbi egyenest határoznak meg, amelyek második metszéspontja rendre [i]A[sub]2[/sub], B[sub]2[/sub], C[/i][sub][i]2[/i] [/sub]. [br] Az így kapott hat pont a három G-egyenest négy-négy G-szakaszra, ezek a gömbfelületet nyolc G-háromszögre osztják.[br][br]A gömbi geometriában gyakran felbukkanó negyed-körívnyi G-szakaszt a továbbiakban - nevezzük [i][url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Kvadr%C3%A1ns_(egy%C3%A9rtelm%C5%B1s%C3%ADt%C5%91_lap)]kvadráns[/url][/i]nak! [br][br]Igaz-e, hogy :[br][list][*]ha van olyan gömbháromszög, amelynek mindhárom oldala kvadráns, akkor az összes szakasz kvadráns, és egymással egybevágók;[br][/*][*]ha egy G-háromszög két oldala kvadráns, akkor minden G-háromszögnek pontosan két oldala kvadráns;[/*][*]ha egy G-háromszögnek pontosan egy oldala kvadráns, akkor minden G-háromszögnek pontosan egy oldala kvadráns;[/*][/list][br]Két gömbháromszög egymás[i] kiegészítő gömb-háromszöge, [/i]ha két csúcsuk közös, a harmadik egymás átellenes pontja.[br][br]Az alábbi appletben egy G-szakasz kék, ha kisebb a kvadránsnál, magenta, ha kvadránsnyi, és piros, ha nagyobb a negyedkörívnél. Igaz-e, hogy:[br][list][*]minden esetben van két olyan háromszög, amelyeknek mindhárom oldala ugyanolyan színű;[/*][/list]

Csak az[b] A[sub]1[/sub], B[sub]1[/sub][/b] és[b] C[sub]1[/sub][/b] pont a fenti applet három interaktívan mozgatható objektuma. A keletkező gömbháromszög lapok megjelenítése sok - valós idejű - számolást igényel, ez darabossá teszi a pontok mozgatását. Ezért a pontok mozgatásakor kikapcsoltuk a felületek megjelenítését vezérlő Δ jelölőnégyzetet, amit a pontok beállítását követően újból be kell (lehet) kapcsolni. Ahhoz is kell némi idő és türelem, hogy ez a változás látszódjon is.

Legyenek a [i]T[/i] területű [i]A[sub]1[/sub]B[sub]1[/sub][/i][i]C[sub]1[/sub] Δ - ívmértékben mért [/i]szögei - rendre α [i], β[/i] és [i]γ [/i]! Megmutatjuk, hogy [url=https://www.geogebra.org/m/NSQ9meGe#material/kajjeHRR]éppúgy, mint a hiperbolikus geometriában[/url] - az egységnyi sugarú gömbháromszög területe kizárólag a szögeitől függ. [br][br]Egy α szögű gömbkétszög T[sub]α[/sub] területe egyenes arányban függ [i]α[/i] mértékétől[i]. [/i]Mivel a gömb területe 4π, [br] α/(2 π)=T[sub][s]α[/s][/sub]/(4 π) azaz T[sub]α[/sub] =α/(2π).[br]Fedjük le a gömböt azokkal a gömbkétszögekkel, amelyek szögei α, β és γ. Ezzel az egész gömbfelületet lefedtük, az [i]A[sub]1[/sub]B[sub]1[/sub][/i][i]C[sub]1[/sub] Δ [/i]-et és az átellenes gömbháromszögét három-három rétegben is, ami [b]4T[/b]-vel több, mint a gömb felszíne: [i] 4π=2(T[sub]α[/sub]+T[sub]β[/sub]+T[sub]γ[/sub])-4T[/i]. Ebből  [b]T=( α+β+γ)-π [/b].[br][br]Eszerint a G-háromszögek szögeinek az összege [u]nagyobb[/u] 180°-nál, és van legnagyobb területű -félgömb felületté fajuló -gömbháromszög. Ha ez szabályos, akkor a szögei 120°-osak. [br] [br][code][/code]