Funciones con geogebra
Análisis gráfico de funciones reales apoyado en geogebra (www.geogebra.org.co)
Table of Contents
- INTRODUCCIÓN
- Introducción
- Geogebra: controladores y applets
- Generalidades: Conceptos y plano cartesiano
- Conceptos y Plano Cartesiano
- Funciones pares y funciones impares
- Intervalos de crecimiento e intervalos de concavidad
- Intervalos de crecimiento
- Intervalos de concavidad
- Funciones algebraicas
- Funciones polinómicas - Generalidades
- Función constante, función afín y función lineal
- Función cuadrática y función cúbica
- Funciones racionales y funciones irracionales
- Funciones trascendentes
- Funciones exponenciales y funciones logarítmicas
- Funciones trigonométricas
- Funciones a trozos
- Función valor absoluto
- Función parte entera y función parte decimal
- Transformación de funciones
- Transformación de funciones
- Composición de funciones y función inversa
- Composición de funciones
- Función inversa
- Graficación de funciones polinómicas
- Graficación de funciones polinómicas de grado menor o igual a 4
- Libros geogebra profedomingohely
- Libros geogebra profedomingohely
Introducción
Libro de material didáctico online que pretende potenciar la enseñanza y el aprendizaje de las funciones matemáticas haciendo énfasis en la parte gráfica, aprovechando una de las fortalezas que tiene el software geogebra (https://www.geogebra.org/). [br][br]El libro aborda las funciones reales de acuerdo con su clasificación normal. Esta clasificación se muestra en el siguiente diagrama.
Cada tema se acompaña de una o varias aplicaciones geogebra llamadas applets, las cuales, mediante objetos de interacción, permiten que el usuario modifique los elementos de la función y pueda comprender mejor los conceptos relacionados y establecer conclusiones.[br][br]Los objetos de interacción de los applets son deslizadores, casillas de verificación, casillas de entrada y botones. Estos objetos se detallan en la siguiente sección.[br][br]Se reitera que el objetivo básico del material educativo es el análisis de las gráficas de las funciones. Sin embargo, algunas secciones se acompañan de forma elemental la parte analítica o procedimental.
Conceptos y Plano Cartesiano
[i][b]CONTENIDO[br][br][/b]- Concepto de función[br][br]- Representación de una función[br][br]- Función real de variable real[br][br]- Variable dependiente y variable independiente[br][br]- Dominio y rango de una función[br][br]- Raíces o ceros de una función[br][br]- Sistema de coordenadas rectangulares[br][br]- Par ordenado y Plano cartesiano[br][/i][b][br][br]CONCEPTO DE FUNCIÓN[br][br][/b]Si se tienen dos conjuntos A y B, [b]una función [i]f[/i] de A en B es una regla que a cada elemento del conjunto A le asigna uno y sólo un elemento del conjunto B[/b].[br][br]En [b]Fig. 1[/b] se muestra el diagrama sagital o de flechas de [b]tres relaciones[/b].
La primera, [b][i][u]f[/u][/i] de A en B[/b]; la segunda, [b]R[/b][b][sub]1[/sub] de C en D[/b] y la tercera, [b]R[/b][b][sub]2[/sub] de M en N[/b].[br][br]- [b]L[/b][b]a relación [i]f[/i] es función[/b] porque todos y cada uno de los cinco elementos del conjunto de partida A, tienen una y sola una imagen en el conjunto de llegada B, a pesar de que hay dos elementos del conjunto B que no son imagen (los elementos [b]r[/b] y [b]s[/b]).[br][br]- [b]La relación R[/b][b][sub]1[/sub] [u]No[/u] es función[/b] porque el elemento [b]j[/b] del conjunto de partida C tiene 2 imágenes, [b]k[/b] y [b]l[/b], en[br]el conjunto de llegada D.[br][br]- [b]La relación R[/b][b][sub]2[/sub] [u]No[/u] es función[/b] porque el elemento [b]C[/b] del conjunto de partida M [b]no tiene[/b] ninguna imagen en N.[br][br][br][br][b]Representación de una función[/b][br][br]En la [b]figura 2[/b] se muestran [b]tres formas diferentes de representar la función f[/b]:
[b]Plano cartesiano:[/b] El eje horizontal lo conforman los elementos del conjunto de partida [b]A[/b] = {a, b, c, d, e}, y el eje vertical, los elementos del conjunto de llegada [b]B[/b] = {m, n, p, q, r, s}.[br][br]Cada punto representa una pareja de la función: (a,m), (b,q), (c,n), (d,p), (e,q). [br][br]El primer elemento de la pareja ordenada pertenece al conjunto de partida, [b]A,[/b] y el segundo elemento de la pareja pertenece al conjunto de llegada, [b]B[/b]. Se dice que [b]m[/b] es imagen de [b]a[/b] y que [b]a[/b] es preimagen de [b]m[/b].[br][b][br]Tabla de valores[/b][b]:[/b] Es una tabla de doble entrada en la que se registran las parejas de la función. Puede ser horizontal o vertical.[br][br]En la figura se ha utilizado una tabla vertical: En la primera columna se escriben los elementos del conjunto de partida y en la segunda columna, los elementos del conjunto de llegada.[br][br]En la [b]primera columna [u]No[/u] puede haber elementos repetidos[/b] porque cada elemento del conjunto de partida solo puede tener una imagen. En cambio, en la [b]segunda columna [u]Sí [/u]pueden haber elementos repetidos[/b] como se muestra en la figura: [b]q[/b] es imagen de dos elementos, [b]b[/b] y [b]e.[/b][br][br][b]Conjunto de parejas[/b][b]:[/b] Es el conjunto de las parejas ordenadas: {(a, m), (b, q), (c, n), (d, p), (e, f)}. Cada pareja representa un punto en el plano cartesiano.[br][br][br][b]Función real de variable real[/b][br][br]Función real de variable real es toda regla o correspondencia que a cada elemento de un subconjunto de los números reales, le asigna un elemento del conjunto de los números reales. [br][br]Normalmente se describe como una expresión matemática o como un enunciado verbal. Ejemplos:[br][br]1. - Expresión matemática: [b]f(x) = x + 1[/b], [math]x\ \in\ \mathbb{Z}[/math][br][br]- Enunciado verbal: A cada número entero se le asigna el entero siguiente. [br][br]Algunas parejas de f(x) serían: (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), ... [br][br]2. - Expresión matemática: [b]g(x) = [/b][b]x[sup]2[/sup] [/b] [br][br]- Enunciado verbal: A cada número real se le asigna su cuadrado.[br][br]Algunas parejas de [b]g(x)[/b] serían: (1, 1), (2, 4), (3,9), ...[br][br][br][b]Variable independiente y variable dependiente[/b][br][br][b]Variable independiente[/b] de una función es la variable que no depende de otras variables. Normalmente se denota como [b]x[/b]. [br][br][b]Variable dependiente[/b] de una función es la variable que depende de otra variable. Se denota por [b]f(x)[/b]. En ocasiones se utiliza [b]y = f(x)[/b]. La variable independiente es [b]x[/b] y la variable dependiente es [b]y[/b].[br][br]En la función [b]f(x) = x + 1[/b], la variable independiente es [b]x[/b]. Una vez que se le asigna un valor a [b]x[/b] se obtiene un valor único para [b]y[/b].[br][br]Así por ejemplo, si x = 1 entonces y = 2. Se escribe [b]f(1) = 2[/b]. Significa que la imagen de 1 mediante la función [b]f[/b] es 2. Esto equivale a la pareja (1, 2).[br][br]En la función [b]g(x) = x[sup]2[/sup][/b], si [b]x = a[/b], entonces [b]g(a) = a[sup]2[/sup][/b]: la imagen de [b]a[/b] mediante la función [b]g[/b] es [b]a[sup]2[/sup][/b]. [br]
[b]Dominio y Rango de una función[/b][br][br][b]Dominio de la función:[/b] Es el subconjunto de los números reales en el que se define la función, es decir, el subconjunto de los elementos de los reales que tienen imagen. Se puede denotar como [b]Df[/b].[br][br]Siguiendo con los dos ejemplos de funciones anteriores, [b]f(x)[/b] y [b]g(x) [/b]se tiene que:[br] [br]- El dominio de f(x) es el conjunto de los números enteros, [math]Df=\mathbb{Z}[/math] : Todos los números enteros tienen imagen y es única.[br][br]- El dominio de g(x) es el conjunto de los números reales, [math]D_g=\mathbb{R}[/math] : Todos los números reales tienen imagen y es única.[br][br][b]Rango de la función[/b]: También se llama [b]recorrido[/b]. Es el subconjunto de los reales que son imágenes. Se puede denotar como [b]Rf[/b].[br][br]- El rango de f(x) es el conjunto de los números enteros, [math]Rf=\mathbb{R}[/math] :Todos los números enteros son imagen de un entero (su anterior).[br][br]- El rango de g(x) es el conjunto de los números reales mayores o iguales a [b]0[/b], [math]Rg=\mathbb{R}\ge0[/math]: Todos los números reales positivos y el cero son imagen de un real (su raíz cuadrada). [i]Se recuerda que una raíz cuadrada existe en los reales solamente si la cantidad subradical es [b]0[/b] o es positiva y que tiene dos resultados, uno positivo y uno negativo. Ejemplo,[/i] [math]\sqrt{9}=\pm3[/math][math]\sqrt{9}=\pm3[/math].[br][br][b]Codominio de la función:[/b] Es el conjunto de llegada. Para el caso de las funciones reales, el codominio es el conjunto de los reales.
[b]Raíz o ceros de una función [br][br]Raíces de una función[/b], también llamados [b]ceros[/b], son los valores [b]x[/b] en los cuales la función f(x) se hace cero. Si f(a) = 0, entonces una raíz de la función es x = a. La función cruza al eje X en el punto (a, 0). [br][b][br][/b]Las raíces pueden ser reales o complejas. [br][br]Las raíces reales de una función determinan los puntos donde la función cruza o toca al eje X. [br][br]Si una raíz real se repite, significa que la función es tangente al eje X en ese valor.[b][br][br][br]Sistema de coordenadas rectangulares[/b] [br][br][b]Sistema de coordenadas rectangulares[/b] es también llamado [b]sistema cartesiano[/b] en honor del matemático francés Renato Descartes. Cuando el sistema es en dos dimensiones se habla de [b]plano cartesiano[/b]. [br][br]Está formado por dos rectas reales perpendiculares que se cruzan en “cero”. Las rectas perpendiculares se llaman [b]ejes[/b]: [br]- el [b]eje horizontal recibe el nombre de eje X o eje de las abscisas[/b].[br][br]- el [b]eje vertical recibe el nombre de eje Y o eje de las ordenadas[/b]. [br][br]El plano cartesiano se utiliza para ubicar cualquier punto en el plano.[br][br]Cuando el sistema cartesiano es de tres dimensiones (X, Y, Z), los tres planos son perpendiculares. Se utiliza para representar un punto en el espacio.[br][br][br][b]Par ordenado[/b][br][br][b]Par ordenado[/b] es una pareja de elementos [b]a[/b] y [b]b[/b] dados en un determinado orden. [br][br]Para designar un par ordenado se utiliza la notación [b](a,b)[/b]. El primer elemento, [b]a[/b], se llama primera componente y el segundo elemento, [b]b[/b], se llama segunda componente es [b]b[/b]. Se hace énfasis en que [b](a,b)[/b] es diferente a [b](b,a)[/b].[br][br][br][b]Coordenadas de un punto en el plano cartesiano:[/b] Las coordenadas de un punto corresponde al par ordenado [b](x,y)[/b]. [br][br]La primera componente, [b]x, [/b]recibe el nombre de [b]abscisa[/b] y es la distancia entre el punto y el eje vertical ([b]eje Y[/b]). [br][br]La segunda componente, [b]y,[/b] recibe el nombre de [b]ordenada[/b] y es la distancia entre el punto y el eje horizontal ([b]eje X[/b]). [br][br]En la [b]Fig. 3[/b] se muestran en el plano cartesiano, los puntos [b]P[/b], [b]Q[/b],[b] R [/b]y[b] S[/b]. El valor de la [b]abscisa[/b] de cada punto se muestra como el vector (flecha) de color rojo, mientras que el valor de la [b]ordenada [/b]se muestra con el vector de color azul:
Las coordenadas de cada punto son: [b]P = (4,2)[/b] [b]Q =(-3,1) [/b] [b]R = (-2,-3)[/b] [b]S = (2,-4)[/b][br][br][br]El applet siguiente tiene por objetivo reforzar el manejo de coordenadas en el plano cartesiano: [br][br]- Visualizar los valores de [b]abcisa [/b]y de [b]ordenada[/b] de P, representadas por vectores, lo que permite identificar el sentido positivo o negativo.[br][br]- Activar el rastro y desplazar el dial de los deslizadores [b]x[/b] y [b]y[/b]. El rastro que deja el punto [b]P[/b] será una recta horizontal o una recta vertical, dependiendo del deslizador que se utilice: [b]Horizontal[/b] cuando se desplaza [b]x[/b] y [b]vertical[/b] cuando se desplaza [b]y[/b].[br][br]Ejemplo: Si se deplaza [b]x[/b] mientras [b]y = 2[/b], se obtiene la horizontal [b]y = 2[/b]. Si se desplaza [b]y[/b] mientras [b]x = -1[/b], se obtiene la vertical [b]x = -1[/b].[br][br]Recuerde que los valores de [b]x[/b] y de [b]y[/b] también se pueden dar por teclado utilizando las casillas de entrada.
Intervalos de crecimiento
[b][br]Recta tangente a una función [br][br][/b]Sea [b]f(x)[/b] una función, [b]a[/b] un valor del dominio de f(x) y [b]P = (a, f(a))[/b], un punto de la función. Se recuerda que [b]f(a)[/b] es la imagen de [b]a[/b] por la función [b]f[/b].[br][br][b]Recta tangente a una función por el punto P[/b] es la recta que pasa por [b]P[/b] y solo tiene ese punto en común con la función. [br][br]La [b]pendiente m[/b] de la recta tangente a una función puede ser:[br][br]- Positiva, si la recta es inclinada ascendente (de izquierda a derecha).[br][br]- Negativa, si la recta es inclinada descendente (de izquierda a derecha).[br][br]- Nula, ([b]m = 0[/b]), si la recta es horizontal.[br][br]- No está definida, si la recta es vertical. [br][br][b][br]Puntos extremos de una función[br][br][/b][b]Puntos extremos de una función[/b] son los valores más grandes y los valores más pequeños de la función. Los valores más grandes reciben el nombre de [b]máximos[/b] y los valores más pequeños, [b]mínimos[/b]. Pueden ser [b]absolutos [/b](globales) o [b]relativos[/b] (locales), según sean en todo el dominio o en un intervalo específico.[br][br][b][br]Intervalo de crecimiento y de decrecimiento de una función[br][br][/b]Sean [b]a[/b] y [b]b[/b] dos valores del dominio de la función y [b]b > a[/b]:[br][br][b]Intervalo de crecimiento [/b]es el intervalo en el cual se cumple que [b]f(b) > f(a)[/b]. [br][br]En el gráfico de la función se tiene que es creciente cuando la [b]pendiente de la tangente[/b] a la función es [b]positiva[/b] (recta inclinada ascendente).[br][br][b]Intervalo de decrecimiento [/b]es el intervalo en el cual se cumple que [b]f(b) < fa)[/b]. [br][br]En el gráfico de la función se tiene que es decreciente cuando la [b]pendiente de la tangente[/b] a la función es [b]negativa[/b] (recta inclinada descendente).[br][br]A continuación se presentan dos applets donde se muestra la gráfica de 3 funciones. Para cada función active las casillas de verificación y desplace el punto de tangencia.
Si se analiza el comportamiento de la recta tangente a la función, se puede concluir que f(x) es [b]creciente[/b] hasta el punto [b]A[/b] (punto máximo), [b]decreciente[/b] entre los puntos [b]A[/b] y [b]B[/b] (punto mínimo) y creciente desde [b]A[/b] hasta infinito.[br][br]Obsérvese que el applet resalta las porciones de gráfica que son crecientes y que son decrecientes.[br][br][i]Para tener en cuenta el significado de algunas de las notaciones utilizadas en estos applets:[br][/i][br][b]x(A)[/b] y [b]x(B)[/b]: abcisa del punto A y abcisa del punto B, respectivamente.[br][br][b](a, b)[/b]: intervalo abierto en ambos extremos. Es equivalente a [b]{[/b]x [math]\in[/math] R [b]/[/b] a < x < b[b]}[/b][br][br][b][c, d][/b]: intervalo cerrado en ambos extremos. Es equivalente a [b]{[/b]x [math]\in[/math] R [b]/[/b] c [math]\le[/math] x [math]\le[/math] d[b]}[/b][br][br][b](m, n][/b]: intervalo abierto a la izquierda y cerrado a la derecha. Es equivalente a [b]{[/b]x [math]\in[/math] R [b]/[/b] m < x [math]\le[/math] n[b]}[/b][br][br][b][p, q)[/b]: intervalo cerrado a la izquierda y abierto a la derecha. Es equivalente a [b]{[/b]x [math]\in[/math] R [b]/[/b] p [math]\le[/math] x < q[b]}[br][br](- [math]\infty[/math], a) [math]\cup[/math] (b, [math]\infty[/math])[/b]: unión de dos intervalos. Es equivalente a [b]{[/b]x [math]\in[/math] R [b]/[/b] x < a [math]\vee[/math]x > b[b]}[/b].
Funciones polinómicas - Generalidades
[br][b]Función polinómica[br][br][/b][b]Función polinómica[/b] es una función que está definida por polinomios.[br][br]Sea el polinomio [math]P\left(x\right)=a_nx^n+a_{\left(n-1\right)}x^{\left(n-1\right)}+a_{\left(n-2\right)}x^{\left(n-2\right)}+...+a_2x^2+ax+a_o[/math]. [br][br]Se define [b]f(x)[/b] como la función [b]f(x) = P(x)[/b]: [math]f\left(x\right)=a_nx^n+a_{\left(n-1\right)}x^{\left(n-1\right)}+a_{\left(n-2\right)}x^{\left(n-2\right)}+...+a_2x^2+ax+a_o[/math] [br][br]Las funciones polinómicas son continuas en todo su dominio.[br][br][br][b]Dominio de las funciones polinómicas[br][br][/b]El dominio de las funciones polinómicas son todos los números reales. Todo número real tiene su imagen y es única: [math]\forall x\in\mathbb{R}[/math] / [math]f\left(x\right)\in\mathbb{R}[/math].[br][br][br][b]Rango de las funciones polinómicas[br][br][/b]El rango de las funciones polinómicas de [b]grado impar[/b] son todos los números reales. Todo número real en una función polinómica de grado impar, es imagen de algún número real.[br][br]El rango de las funciones polinómicas de [b]grado par[/b] es un subconjunto de los números reales:[br][br]- Si [b]a[sub]n[/sub][/b] [b]> 0[/b], el rango es el intervalo [b][y[sub]M[/sub],[/b] [math]\infty[/math][b])[/b], siendo [b]y[/b][sub][b]M[/b] [/sub]la ordenada del punto [b]mínimo absoluto[/b].[br][br]- Si [b]a[sub]n[/sub][/b] <[b] 0[/b], el rango es el intervalo [b]([math]-\infty[/math], y[sub]M[/sub]][/b], siendo [b]y[sub]M[/sub][/b] la ordenada del punto [b]máximo absoluto[/b]. [br][br]Veamos dos ejemplos de función cuadrática (n = 2):[br][br]a) [b]f(x) = 3x[sup]2[/sup] - 4x - 1[/b], a[sub]n[/sub] = 3 [br][br]Como a[sub]n[/sub] >0, la gráfica es convexa y tiene el mínimo absoluto en el punto [b]P[sub]M[/sub] = (0.66, - 2.33)[/b]. En consecuencia, el [b]rango [/b] de f(x) es el intervalo [b][- 2.33, [math]\infty[/math])[/b]. Reales mayores o iguales a - 2.33[br][br]b) [b]g(x) = - 3x[sup]2[/sup] - 3x +1[/b], a[sub]n[/sub] = - 3 [br][br]Como a[sub]n[/sub] <0, la gráfica es cóncava y tiene el máximo absoluto en el punto [b]P[sub]M[/sub] = (-0.5, 1.75)[/b]. En consecuencia, el [b]rango [/b] de gx) es el intervalo [b](-[math]\infty[/math], 1.75][/b]. Reales menores o iguales a 1.75[br][br][br][b]Raíces de las funciones polinómicas[br][br]Raíces o ceros de una función[/b] son cada uno de los valores [b]x[/b] en el que la función f(x) se hace cero, es decir, el polinomio de la función se iguala a cero. [br][br]Las raíces de una función pueden ser reales o complejas. [br][br]Si las raíces son reales, la función cruza o toca al eje X en esos valores de x.[br][br]Si una raíz real se repite, significa que la función es tangente al eje X en ese valor.[br][br]Si todas las raíces son complejas, la función no cruza ni toca al eje X.[br][br]Una función polinómica de grado [b]n[/b] tiene [b]n[/b] raíces o ceros entre raíces reales y raíces complejas. [br][br]Si f(3) = 0, entonces [b]x = 3[/b] es una raíz de la función f(x). La función cruza al eje X en el punto (3, 0). [br][br][br][b]Intercepto con el eje Y[br][br][/b]Todas las funciones polinómicas intersecan al eje Y en el punto [b]I[sub]y[/sub] = (0, a[sub]o[/sub])[/b], siendo [b]a[sub]o[/sub][/b] el término independiente del polinomio P(x). [i]Modifique el valor de [b]F[/b] en el applet y observe el comportamiento de la gráfica con relación al eje Y.[/i][br][br][br]Se presenta un [b]applet[/b] que permite mostrar gráficas de funciones polinómicas desde grado cero hasta grado 5. La forma genérica utilizada es [b]f(x) = Ax[sup]5[/sup] + Bx[sup]4[/sup] + Cx[sup]3[/sup] + Dx[sup]2[/sup] + Ex + F[/b] en donde los coeficientes A, B, C, D, E, F son manejados por deslizadores. [br][br]Si por ejemplo, se quiere mostrar una función cúbica se hará A = 0 y B = 0.
Explore el applet [b]Graficador de funciones polinómicas[/b] al final de este libro o también en el link https://www.geogebra.org/m/ybhvuukp#material/hcdwddsz
Funciones exponenciales y funciones logarítmicas
[b]Potenciación, radicación y logaritmación[br][br][/b]Potenciación, radicación y logaritmación son tres operaciones matemáticas relacionadas entre sí. [br][br][b]Potenciación[/b]: Es la operación mediante la cual una cantidad llamada [b]base[/b] se multiplica por sí mismo un número de veces. El resultado se llama [b]potencia[/b] mientras que la cantidad de veces que se multiplica la base se llama [b]exponente[/b].[br][br][b]Radicación[/b]: Es una operación inversa a la potenciación, en la cual se obtiene un número llamado [b]raíz[/b] tal que al multiplicarlo por sí mismo el número de veces que indica el exponente, se obtiene el [b]radicando[/b] o [b]subradical[/b]. El exponente de la potencia es el [b]índice[/b] de la raíz.[br][br][b]Logaritmación[/b]: Es otra operación inversa de la potenciación. Consiste en hallar el exponente al cual fue elevada la base para obtener la potencia. El resultado de la operación se llama [b]logaritmo[/b] y equivale al exponente de la potencia.[br][br]En la logaritmación, la base puede ser cualquier número mayor que cero pero diferente de uno. Sin embargo, normalmente sólo se utilizan dos: base [b]10[/b] para los logaritmos decimales y base [b]e[/b] para los logaritmos naturales.[br][br]El número [b]e[/b] (número de Euler) es un número irracional. Su equivalencia es [b]e = 2.718281...[/b].[br][br]Un logaritmo decimal (base 10) se escribe [b]log x [/b]mientras que un logaritmo natural (base e) se escribe [b]ln x[/b].[br][br]La tabla siguiente es una síntesis de las tres operaciones analizadas:
[b]Función exponencial y función logarítmica[br][br][/b][b]Función exponencial[/b] es una función cuya ecuación es [math]f\left(x\right)=a^x[/math] siendo a > 0 y [math]a\ne1[/math]. La variable independiente [b]x[/b] es el exponente. Las imágenes de f(x) son las potencias del número [b]a[/b] que es la base. [br][br][b]Función logarítmica[/b] es una función cuya expresión es [math]f\left(x\right)=log_ax[/math], a > 0 y [math]a\ne1[/math]. Las imágenes de f(x) son los exponentes de la potencia de base [b]a[/b].[br][br]Las funciones exponenciales y las funciones logarítmicas son inversas entre sí, es decir, son simétricas con respecto de la función identidad f(x) = x.[br][br]En el applet que sigue se analizan gráficamente la función exponencial [b]f(x) = a[sup]x[/sup][/b] y la función logarítmica [b]g(x) = log[sub]a[/sub]x[/b] con la base [b]a[/b] (deslizador) entre 0.1 y 10. De cada función se muestra su inversa. Adicionalmente se muestran las funciones cuya base es el número de Euler: r(x) = e[sup]x[/sup] y s(x) = ln x.
[b]Características de la función exponencial f(x) = a[sup]x[/sup] [br][br][/b]- Dominio: conjunto de los números reales, D[sub]f[/sub] = R[br][br]- Rango: subconjunto de los reales positivos, R[sub]f[/sub] = ([math]0,\infty[/math])[br][br]- Intercepto con Y: punto (0, 1) porque a[sup]0[/sup] = 1[br][br]- No tiene raíces[br][br]- Siempre pasa por el punto (a,1) porque a[sup]1[/sup] = 1[br][br]- El eje X es una asíntota horizontal[br][br]- Es creciente si a > 1. Es decreciente si 0 < a < 1.[br][br]- Es continua en todo su dominio.[br][br][br][b]Características de la función logarítmica g(x) = log[sub]a [/sub]x[/b]:[br][br]- Dominio: subconjunto de los reales positivos, R[sub]f[/sub] = ([math]0,\infty[/math]). [br][br]- Rango: conjunto de los números reales, D[sub]f[/sub] = R. [br][br] Como las dos funciones son inversas, el dominio y el rango se intercambian: el dominio y el rango de la primera es el rango y el dominio de la segunda. [br][br]- No tiene intercepto con Y.[br][br]- Raíces: punto (1, 0) porque log[sub]a[/sub] 1 = 0. Siempre pasa por ese punto.[br][br]- Siempre pasa por el punto (a, 1) porque log[sub]a[/sub] a = 1[br][br]- El eje Y es una asíntota vertical[br][br]- Es creciente si a > 1. Es decreciente si 0 < a < 1.[br][br]- Es continua en todo su dominio.[br][br]En el applet, cuando se activan las funciones inversas se muestra 2 parejas de puntos, C y C' y B y B'. Cada pareja de puntos son simétricos con relación a la recta diagonal y = x (función identidad). [i]Desplace los puntos C y/o B.[br][br][/i]Las funciones r(x) = e[sup]x[/sup] y s(x) = ln x son casos especiales de la funciones exponencial y logarítmica. La base de las dos es el número e = 2.718281828...
Función valor absoluto
[b]Función valor absoluto[br][br]Valor absoluto o módulo[/b] de un número es el valor del número sin tener el cuenta el signo. Ejemplo, |9| = 9, |-9| = 9. El módulo de los dos números es 9. Siempre es positivo.[br][br]El valor absoluto de un número puede entenderse como la distancia en la recta numérica entre el número y cero: distancia entre 9 y 0 es 9 y la distancia entre -9 y 0 también es 9.[br][br]La expresión matemática del valor absoluto de [b]x[/b] se puede escribir como [math]\left|x\right|=\left(x\text{\thinspace}\text{\thinspace}\text{\thinspace}si\text{\thinspace}\text{\thinspace}x\ge0\right)\text{\thinspace}\text{\thinspace}\vee\text{\thinspace}\left(-x\text{\thinspace}\text{\thinspace}si\thinspace\thinspace x<0\right)[/math]. Ejemplos:[br][br] a) |5|: como 5 [math]\ge[/math] 0 [math]\Longrightarrow[/math] |x| = x [math]\therefore[/math] |5| = 5[br][br] b) |-8|: como -8 < 0 [math]\Longrightarrow[/math] |x| = -x [math]\therefore[/math] |-8| = -(-8) = 8[br][br][b]Función valor absoluto[/b] es la función en la cual a cada número real se le hace corresponder su módulo: [math]f\left(x\right)=\left|x\right|[/math].[br][br][b]Gráfica de la función valor absoluto[br][br][/b]En el applet que se presenta a continuación se muestra la gráfica y se analizan las principales características.[br][br]Al final del capítulo se presenta otro applet con ejemplos de función aboluto.
- Dominio: conjunto de los números reales, D[sub]f[/sub] = R[br][br]- Rango: subconjunto de los reales mayores o iguales a cero, Rf = [0, [math]\infty[/math])[br][br]- Intercepto con Y: punto (0,0). Valor absoluto de cero es cero.[br][br]- Raíces: tiene una sola raíz en x = 0[br][br]- Concavidad: es convexa. El punto mínimo es (0,0)[br][br]- Es función par, es decir, es simétrica al eje Y: f(x) = f(-x)[br][br]- Es decreciente en el intervalo (-[math]\infty[/math], 0) y creciente en el intervalo (0, [math]\infty[/math]).
[b]Gráfica de otros ejemplos de función valor absoluto[/b][br][br]En el applet siguiente se presentan las gráficas de 3 funciones con valor absoluto y su correspondiente, sin valor absoluto. [i]El deslizador [b]k[/b] permite desplazar todas las gráficas en sentido vertical.[/i][br][br]En los ejemplos [b]A [/b] y [b]B[/b] se puede observar que en las funciones [b]f [/b]y [b]g[/b], la parte negativa de las correspondientes [b]f[sub]o[/sub][/b] y [b]g[sub]o[/sub][/b] pasan a ser positivas, quedando toda la gráfica positiva. [br][br]Situación diferente se presenta en la función [b]h[/b] en donde no toda la expresión de la función está con valor absoluto. Eso hace que no toda la gráfica de [b]h[/b] pase a ser positiva.
Transformación de funciones
[b]Transformación de funciones[br][br][/b]Se entiende por [b]transformación de funciones [/b]las alteraciones que sufre la gráfica de una función.[br][br][b]Tipos de transformación de funciones[br][br][/b]Se consideran tres tipos de transformaciones:[br][br]- Traslación o desplazamiento [br][br]- Reflexión [br][br]- Expansión-compresión o dilatación-contracción[br][br][i]A continuación se presentan 5 applets: [br][br]Los 4 primeros permiten mostrar las diferentes transformaciones de la función original o modelo f(x).[br][br]Las funciones modelo mostradas son: [br][br]- Función cuadrática, f(x) = x[sup]2[/sup][br][br]- Función cúbica, [i]f(x) = x[sup]3[/sup][/i][br][br]- Una función periódica, f(x) = sen(x)[br][br]- Función valor absoluto, f(x) = |x|[br][br]En el applet No. V se muestra como función modelo f(x) = x[sup]2[/sup]. A esta función se le aplica en forma sucesiva los tres tipos de transformación. [/i][br][br][br][b]Traslación o desplazamiento[br][br][/b]Son transformaciones rígidas que cambian la posición de la gráfica de una función. La gráfica puede trasladarse hacia arriba o hacia abajo y a la derecha o a la izquierda. Por lo tanto, hay [b]traslaciones verticales[/b] y [b]traslaciones horizontales[/b]. [br][br]Cuando se aplica una traslación a una función, la gráfica resultante conserva la forma y también la orientación de la función original o función modelo.[br][br][b]Traslación vertical [/b]se da cuando los puntos de una función se desplazan en el sentido del eje Y. Si [b]f(x)[/b] es la función modelo, la función trasladada será [b]f(x + k)[/b], siendo k un número real.[br][br]Si [b]k > 0[/b] la gráfica se traslada hacia arriba. Cada imagen de [b]x[/b] aumenta verticalmente [b]k[/b] unidades.[br][br]Si [b]k < 0[/b] la gráfica se traslada hacia abajo. Cada imagen de [b]x[/b] disminuye verticalmente [b]k[/b] unidades.[br][br][b]Traslación horizontal [/b]se da cuando los puntos de una función se desplazan en el sentido del eje X. Si [b]f(x)[/b] es la función modelo, la función trasladada será [b]f(x + k)[/b], siendo k un número real.[br][br]Si [b]k > 0[/b] la gráfica se traslada hacia la izquierda. Cada imagen de [b]x[/b] disminuye horizontalmente [b]k[/b] unidades.[br][br]Si [b]k < 0[/b] la gráfica se traslada hacia la derecha. Cada imagen de [b]x[/b] aumenta horizontalmente [b]k[/b] unidades.[br][br][br][b]Reflexión[/b][br][br]Son transformaciones rígidas que cambian la posición de una gráfica con relación a una línea de tal manera que los puntos de la función modelo y los puntos de la función reflejada son opuestos a la línea de reflexión (están a igual distancia de la recta de reflexión).[br][br]La línea de reflexión actúa como un espejo y recibe el nombre de [b]eje de simetría[/b]. Las dos gráficas, la original y la reflejada, son simétricas con relación al eje. En este caso se habla de [b]simetría axial[/b].[br][br]Cualquier recta puede ser utilizada como eje de simetría. Sin embargo, solamente se van a considerar dos casos especiales, tomando como referencia los ejes X y Y del plano cartesiano.[br][br][b]Reflexión sobre el eje X[/b]. Se da cuando el eje de simetría es el eje X. Si [b]f(x)[/b] es la función modelo, la función reflejada será [b]-f(x)[/b], o lo que es lo mismo, [b](-1)*f(x)[/b]. Las secciones de la gráfica que son positivas se convierten en negativas y las negativas se convierten en positivas.[br][br][b]Reflexión sobre el eje Y[/b]. Se da cuando el eje de simetría es el eje Y. Si [b]f(x)[/b] es la función modelo, la función reflejada será [b]f(-x)[/b]. Las secciones de la gráfica que están al lado derecho del eje [b]Y[/b] pasan al lado izquierdo y las que están al lado izquierdo, pasan al lado derecho.
[b]Expansión-compresión o dilatación-contracción[br][br][/b]También llamada [b]escalamiento[/b]. Es una transformación no rígida en la cual la gráfica experimenta un alargamiento o acortamiento horizontal o vertical.[br][br][b]Escalamiento vertical[/b] se da cuando la función se multiplica por un número real. Si [b]f(x)[/b] es la función modelo, la función escalada será [b]k*f(x)[/b]. Se tiene dos casos:[br][br]Si [b]0 < |k| < 1 [/b]se tiene una compresión vertical. La distancia de cada punto al eje X se hace menor. Si [b]k[/b] se acerca a [b]0[/b], la gráfica se acerca a una recta horizontal. Si [b]|k|[/b] se acerca a [b]1[/b], la gráfica se acerca a la gráfica original.[br][br]Si [b]|k| > 1 [/b]se tiene una expansión vertical. La distancia de cada punto al eje X se hace mayor.[br][br]Adicional a lo anterior, [b]si k < 0[/b], la gráfica sufre también una reflexión sobre el eje X.[br][br][b]Escalamiento horizontal[/b] se da cuando la variable independiente [b]x[/b] se multiplica por un número real. Si [b]f(x)[/b] es la función modelo, la función escalada será [b]f(k*x)[/b]. Se tiene dos casos:[br][br]Si [b]0 < |k| < 1 [/b]se tiene una expansión horizontal. La distancia de cada punto al eje Y se hace mayor. Si [b]k[/b] se acerca a [b]0[/b], la gráfica se acerca a una recta horizontal. Si [b]|k|[/b] se acerca a [b]1[/b], la gráfica se acerca a la gráfica original.[br][br]Si [b]|k| > 1 [/b]se tiene una compresión horizontal. La distancia de cada punto al eje Y se hace menor.[br][br]Adicional a lo anterior, [b]si k < 0[/b], la gráfica sufre también una reflexión sobre el eje Y.[br][br][i]Se sugiere mostrar un solo tipo de transformación a la vez.[/i]
A continuación se tiene el applet V, en el cual la función [b]f(x) = x[sup]2[/sup] [/b]se toma como función modelo.[br][br]A esa función se le hacen, en su orden, las siguientes transformaciones:[br][br]1. Traslación horizontal y/o vertical. Se obtiene la función [b]f[sub]d[/sub](x)[/b]. Se pueden mostrar los vectores de desplazamiento. [br][br]2. Escalamiento de la función anterior [b]f[sub]d[/sub](x)[/b]. Se pueden hacer los dos tipos de escalamiento:[br][br] a. Escalamiento vertical. Se obtiene la función [b]g[sub]a[/sub](x)[/b]. Se puede mostrar el segmento (distancia) de un punto al eje X. [br][br] b. Escalamiento horizontal. Se obtiene la función [b]g[sub]b[/sub](x)[/b]. Se puede mostrar el segmento (distancia) de un punto al eje Y. [br][br] Se reitera que si el número [b]K[/b] por el cual se multiplica en un escalamiento es menor que cero, automáticamente, [br] además del escalamiento, se hace una reflexión.[br][br]3. Reflexión de la función [b]g[sub]a[/sub](x)[/b] obtenido en el paso 2.a. (escalamiento vertical de [b]f[sub]d[/sub](x)[/b]. Se pueden hacer los dos tipos de reflexión. Se obtienen las funciones [b]h[sub]ax[/sub](x)[/b] y [b]h[sub]ay[/sub](x)[/b].
Composición de funciones
[b]Función compuesta[br][br][/b][b]Función compuesta[/b] es una función formada por la composición o aplicación sucesiva de dos o más funciones.[br]La composición de funciones es el resultado de la aplicación sucesiva de dos o más funciones sobre el mismo elemento [b]x [/b].[br][br]Sean dos funciones [b]f(x)[/b] y [b]g(x)[/b]:[br][br]- La composición de [b]f[/b] y [b]g[/b] (primero se aplica [b]f[/b] y luego se aplica [b]g[/b]) se denota como [b](g o f)(x) = g(f(x))[/b]. [br][br]- La composición de [b]g[/b] y [b]f[/b] (primero se aplica [b]g[/b] y luego se aplica [b]f[/b]) se denota como [b](f o g)(x) = f(g(x))[/b]. [br][br]Obsérvese que [b]composición de f y g[/b] es diferente de [b]composición de g y f[/b]. [br][br]La composición se puede hacer sobre la misma función: [b](f o f)(x) = f(f(x))[/b].[br][br]A continuación se tiene un applet que muestra cuatro composiciones con las funciones f(x) y g(x):[br][br] [math]f\left(x\right)=3x^2-2x+1[/math] [math]g\left(x\right)=x^3-2x[/math][br][br]1. [b]h(x) = (f o g)(x) = f(g(x))[br][br] [math]h\left(x\right)=3\left(x^3-2x\right)^2-2\left(x^3-2x\right)+1[/math] [/b]: cada [b]x[/b] de [b]f[/b] se reemplaza por la expresión de [b]g[/b].[br][br]2. [b](g o f)(x) = g(f(x))[br][br] [/b][math]i\left(x\right)=\left(3x^2-2x+1\right)^3-2\left(3x^2-2x+1\right)[/math]: cada x de [b]g[/b] se reemplaza por la expresión de [b]f[/b].[br][br]3. [b](f o f)(x) = f(f(x))[br][br] [/b][math]j\left(x\right)=3\left(3x^2-2x+1\right)^2-2\left(3x^2-2x+1\right)+1[/math] : cada x de [b]f[/b] se reemplaza por la expresión de la misma [b]f[/b].[br][br]4. [b](g o g)(x) = g(g(x))[/b][br][br] [math]k\left(x\right)=\left(x^3-2x\right)^3-2\left(x^3-2x\right)[/math] : cada x de [b]g[/b] se reemplaza por la expresión de la misma [b]g[/b].[br][br][i]En el applet se muestra cada una de las gráficas.[/i]
Graficación de funciones polinómicas de grado menor o igual a 4
El applet permite graficar las siguientes funciones polinómicas:[br]- Función constante[br]- Función lineal[br]- Función afín[br]- Función cuadrática[br]- Función cúbica[br]- Función cuártica o de cuarto grado
En la página [b]Funciones polinómicas - Generalidades [/b]de este mismo libro se muestra otro applet de gráfica de funciones polinómicas: https://www.geogebra.org/m/ybhvuukp#material/zgx47f28
Libros geogebra profedomingohely
Abrir https://www.geogebra.org/m/pckktn56