Una [b]corda [/b]è un segmento che congiunge due qualsiasi punti di una circonferenza.[br]Una corda che passa per il centro della circonferenza si dice [b]diametro[/b].[br][br]Gli estremi di un diametro si dicono [b]diametralmente opposti[/b].

Il diametro è una corda di lunghezza massima.[br]oppure[br]Ogni corda non passante per il centro è minore del diametro.[br][br][u]Dimostrazione[br][br][/u]Una corda AB non passante per il centro O individua un triangolo isoscele. Basta congiungere gli estremi della corda con il centro della circonferenza (operazione che vi conviene tenere a mente quando dovete eseguire qualche dimostrazione).[br]Applicando la disuguaglianza triangolare al lato AB del triangolo ABO, abbiamo che AB < OA + OB.[br][br]Dato che la lunghezza di OA + OB = lunghezza del diametro, possiamo dire che la corda è minore del diametro.[br]

[u]Ipotesi[/u]: AB è una corda ed O è il centro della circonferenza[br][br][u]Tesi[/u]: [b]O [/b]appartiene all'[b]asse [/b]di AB[br][br]Dimostrazione[br][br]Dato che O è equidistante da A e B perchè è il centro della circonferenza, O deve appartenere all'asse di AB (che è il luogo dei punti equidistanti da A e da B; quindi, tutti i punti equidistanti da A e da B devono appartenere all'asse di AB).

[u]Ipotesi[/u]: r è una retta [b]perpendicolar[/b]e alla corda AB, O è il centro della circonferenza, [b]O [/b][math]\in[/math][b] r[/b][br][br][u]Tesi[/u]: r è l'asse di AB[br][br]Dimostrazione[br][br][list][*]M sia il punto di intersezione tra r e AB. [/*][*]Il triangolo ABO è [u]isoscele[/u], dato che OA e OB sono raggi della stessa circonferenza. [/*][*]OM è l'[u]altezza[/u] del triangolo AOB perchè OM è [u]perpendicolare[/u] ad AB per ipotesi.[/*][*]OM è anche [u]mediana[/u] perchè in un triangolo isoscele altezza e mediana coincidono; quindi, M è il [u]punto medio[/u] di AB. [/*][/list]Pertanto,[b] r è l'asse di AB[/b] perchè è perpendicolare ad AB e passa per il suo punto medio.

In una circonferenza (o in circonferenze congruenti) se due corde sono [b]congruenti[/b], allora hanno la [b]stessa distanza dal centro[/b].[br][br][u]Ipotesi[/u]: AB e CD sono corde, AB [math]\cong[/math] CD, OH [math]\dashv[/math] AB, OK [math]\dashv[/math] CD[br][br][u]Tesi[/u]: OH [math]\cong[/math] OK[br][br][u]Dimostrazione[br][/u]Per il teorema che afferma che la perpendicolare a una corda passante per il centro è l'asse della corda, possiamo dire che H e K sono i [u]punti medi[/u] delle corde AB e CD.[br]Pertanto, AH [math]\cong[/math] CK perchè sono la metà di segmenti congruenti.[br]I triangoli AOH e COK sono rettangoli (perchè il segmento della distanza è perpendicolare); inoltre:[br]OA [math]\cong[/math] OC perchè sono raggi[br]AH [math]\cong[/math] CK perchè sono la metà di segmenti congruenti.[br]Quindi, i triangoli AOH e COK sono congruenti per il criterio dei triangoli rettangoli (caso particolare ipotenusa e cateto).[br]Di conseguenza, OH [math]\cong[/math] OK perchè sono elementi corrispondenti in triangoli congruenti.

Se due corde hanno la [b]stessa distanza dal centro,[/b] sono [b]congruenti.[br][/b][u][br]Ipotesi[/u]: OH [math]\cong[/math] OK[br][br][u]Tesi[/u]: AB [math]\cong[/math] CD[br][br][u]Dimostrazione[br][br][/u]I triangoli rettangoli AOH e COK sono congruenti perchè hanno l'ipotenusa e un cateto congruenti, dato che AO [math]\cong[/math] OC perchè sono raggi e OH [math]\cong[/math] OK per ipotesi. Pertanto, AH [math]\cong[/math] CK perchè sono elementi corrispondenti in triangoli congruenti. Di conseguenza anche AB [math]\cong[/math] CD, dato che H e K sono i punti medi delle corde.

Se due corde di una circonferenza (o di circonferenze congruenti) [b]non[/b] sono [b]congruenti[/b], allora la corda [b]minore[/b] ha distanza dal centro [b]maggiore[/b] dell'altra. [br][br]Tralasciamo la dimostrazione di questo teorema, per il momento.

Se AB e CD sono due corde di una circonferenza di centro O,[br][list=1][*]AB [math]\cong[/math] CD se e solo se la distanza di AB da O è [b]congruente[/b] alla distanza di CD da O[/*][*]AB < CD se e solo se la distanza di AB da O è [b]maggiore[/b] della distanza di CD da O[/*][*]AB > CD se e solo se la distanza di AB da O è [b]minore[/b] della distanza di CD da O[/*][/list]