Du siehst hier in orange den Graphen der Funktion [math]f:x\mapsto x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}[/math]. [br]Mithilfe des Schiebereglers a kannst du die Funktion [math]x^{\frac{a}{2}}[/math] erzeugen.[br]Bestimme Definitions- und Wertemenge für alle Funktionen und erkläre für die Einschränkung der Definitionsmenge.
Lasse nun die Funktion g(x) in lila anzeigen. Lasse außerdem die Punkte A und B, sowie die Tangente anzeigen und verschiebe den Punkt B entlang des orangen Graphen.
Ist die Funktion g die Ableitung von f? Begründe.
Lies den Term von g(x) ab. Wie entsteht die Ableitung zur Funktion [math]f:x\mapsto x^{\frac{1}{2}}[/math]?
Prüfe nun mithilfe des Schiebereglers und durch Bewegen von Punkt B, ob diese Regel für die anderen Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten auch gilt.
Bestimme anhand dieser Regel die Ableitungen folgender Funktionen. (Achte bei der Subtraktion im Exponenten darauf, wie sich dieser ändert)[br][list=1][size=150][*][math]f\left(x\right)=x^{\frac{5}{3}}[/math][br][/*][*][math]g\left(x\right)=4x^{\frac{9}{2}}[/math][br][/*][/size][*][math]h\left(x\right)=x^{-\frac{1}{2}}[/math][br][/*][*][math]j\left(x\right)=4x^{-\frac{4}{3}}[/math][br][br][/*][/list]