Construa um paralelogramo [math]ABCD[/math] de lados [math]\overline{AB}[/math], [math]\overline{BC}[/math],[math]\overline{CD}[/math] e [math]\overline{DA}[/math]. Em cada um de seus lados, construa quadrados para fora do paralelogramo. Marque, então, os centros [math]E[/math], [math]F[/math], [math]G[/math] e [math]H[/math] desses quadrados e, por fim, desenhe o quadrilátero [math]EFGH.[/math]

[justify][b]Demonstração: [/b]Queremos mostrar que [math]EFGH[/math] é um quadrado. Isto é, todos os lados têm comprimentos iguais e seus ângulos internos reto. [/justify][br]Para isso, considere os triângulos [math]FBG[/math] e [math]HCG[/math].

Vamos mostrar que [math]FBG[/math] e [math]HCG[/math] são congruentes por lado-ângulo-lado (LAL). [br][br]Como [math]\theta+\beta=180[/math]º , pois são ângulos colaterais internos, então [math]\alpha+\beta=\theta+\beta=180[/math]º, desse modo temos que [math]\alpha=\theta[/math]. Além disso, [math][/math] [math]\overline{BG}=\overline{CG}[/math] (raio do quadrado) e [math]\overline{BF}=\overline{CH}[/math], portanto, os triângulos [math]FBG[/math] e [math]HCG[/math] são congruentes por LAL.

Da mesma maneira, [math]\gamma=\sigma+\omega=\pi+\omega=\lambda=90[/math]º , assim, [math]\overline{GF}=\overline{GB}[/math] e [math]\lambda=90[/math]º. Analogamente, [math]\overline{GH}=\overline{HE}[/math] e [math]\epsilon=90[/math]º, [math]\overline{EF}=\overline{FG}[/math] e [math]\mu=90[/math]º[br][br]Portanto, [math]EFGH[/math] é um quadrado com lados opostos paralelos [math]\overline{FG}\slash\slash\overline{HE}[/math] e [math]\overline{GH}\slash\slash\overline{FE}[/math] ,com comprimentos iguais e seus ângulos internos são retos.