[size=50][right]Diese Seite ist Teil des [color=#980000][i][b]GeoGebrabooks[/b][/i][/color] [url=https://www.geogebra.org/m/kCxvMbHb]Moebiusebene[/url] ([color=#ff7700][i][b]18.Oktober.2020[/b][/i][/color])[br][/right][/size][br][size=85]Zu zwei [color=#ff0000][i][b]Kugeln[/b][/i][/color], die sich berühren oder gar nicht schneiden, gibt es [i][b]genau eine[/b][/i] [color=#0B5394][i][b]Kugel[/b][/i][/color], an der gespiegelt die beiden [color=#ff0000][i][b]Kugeln[/b][/i][/color] vertauscht werden.[br]Zu zwei [color=#ff0000][i][b]Kugeln[/b][/i][/color], die sich in einem [color=#BF9000][i][b]Kreis[/b][/i][/color] schneiden, gibt es genau 2 solcher [i][b][color=#0B5394]Symmetrie-Kugeln[/color][/b][/i]. ([size=50]Die Symmetriekugeln sind Winkelhalbierende![/size])[br][br]Für die Aussage sind - wie in der [color=#0000ff][i][b]Möbius-Geometrie [/b][/i][/color]üblich - als [color=#ff0000][i][b]Kugeln[/b][/i][/color] auch [color=#ff7700][i][b]Ebenen[/b][/i][/color] zugelassen.[br][br]Oben wird die [math]xy[/math]-[color=#ff7700][i][b]Ebene[/b][/i][/color] auf die [color=#9900ff][i][b]Einheitskugel[/b][/i][/color] an der [color=#0000ff][i][b]Kugel[/b][/i][/color] mit Mittelpunkt [math]N=(0,0,1)\cong\infty[/math] und Radius [math]r=\sqrt{2}[/math] gespiegelt.[br]Die Konstruktion entspricht genau der [color=#980000][i][b]stereographischen Projektion[/b][/i][/color] von [math]\mathbb{C}[/math] auf die [/size][size=85][size=85][color=#9900ff][i][b]Einheitskugel[/b][/i][/color][/size]![br][color=#B45F06][i][b]Inversionen[/b][/i][/color] an [color=#ff0000][i][b]Kugeln[/b][/i][/color] sind ungleichsinnige [color=#0000ff][i][b]Möbius-Transformationen[/b][/i][/color] des [color=#0000ff][i][b]Möbius-Raumes[/b][/i][/color]: sie sind [color=#ff0000][i][b]kreis[/b][/i][/color] - und [color=#38761D][i][b]winkeltreu[/b][/i][/color]![br][br]Die Begründungen entsprechen den Begründungen für die Konstruktion von [math]\hookrightarrow[/math] [url=https://www.geogebra.org/m/ajzpzrbj#material/jsrafdkn]Symmetrie-Kreisen von 2 Kreisen[/url]![br][br]Die [/size][size=85][color=#1e84cc][i][b][size=85][color=#9900ff][i][b]Einheitskugel[/b][/i][/color][/size] [/b][/i][/color]als Bild der [math]xy[/math]-[color=#073763][i][b]Ebene[/b][/i][/color] [math]\cong\mathbb{C}[/math], stereographisch parametrisiert:[br][/size][list][*][size=85][math]sphere\left(z=x+i\cdot y\right):=\mathbf{Oberfläche}\left(\frac{2\cdot x}{z\bar{z}+1},\frac{2\cdot y}{z\bar{z}+1},\frac{z\bar{z}-1}{z\bar{z}+1},x,-10,10,y,-10,10\right)[/math][br][/size][/*][/list]