Maanrakennustyömaalle tarvitaan vähintään 200 m[sup]3[/sup] hiekan ja soran seosta. Seoksessa[br]saa olla enintään 100 m[sup]3[/sup] hiekkaa ja siinä on oltava vähintään 120 m[sup]3[/sup] soraa. Hiekan ja[br]soran seosta on mahdollista saada kahdesta eri paikasta. Paikasta 1 on saatavilla hiekan[br]ja soran sekoitusta, jossa on 30 % hiekkaa ja 70 % soraa hintaan 7 e/m[sup]3[/sup] ja paikasta[br]2 sekoitusta, jossa on jossa on 60 % hiekkaa ja 40 % soraa hintaan 5 e/m[sup]3[/sup]. Kuinka[br]paljon hiekan ja soran seosta tulisi toimittaa paikasta 1 ja kuinka paljon paikasta 2, jotta[br]kustannukset minimoituisivat?

Muodostetaan kustannuksia kuvaava funktio ja ongelmaa rajoittavat epäyhtälöt ja ratkaistaan[br]kustannusminimi.[br][br]Merkitään:[br][br][i]x[/i] on hiekan ja soran seosmäärä paikasta 1[br][i]y[/i] on hiekan ja soran seosmäärä paikasta 2[br][br]Minimoitava kustannusfunktio on muotoa[br][br][math] z(x, y) = 7x + 5y. [/math][br][br]Kokonaiskustannus siis koostuu hiekan ja soran seosmäärä paikasta 1 kerrottuna sen hinnalla (7x) plus hiekan ja soran seosmäärä paikasta 2 kerrottuna sen hinnalla (5y).[br][br]Mahdollisia hiekka-sora seoksen määriä rajaa epäyhtälöt:[br][math] x\geq 0:[/math] Paikasta 1 olevan seoksen määrän x on oltava vähintään nolla.[br][math] y\geq 0:[/math] Paikasta 2 olevan seoksen määrän y on oltava vähintään nolla.[br][math] x + y \geq 200:[/math]) Hiekka-sora seosta on oltava vähintään 200 m[sup]3[/sup].[br][math] 0,7x+0,4y \geq 120:[/math] Soran kokonaismäärän on oltava vähintään 120 m[sup]3[/sup].[br][br]Epäyhtälöt toteutuvat tason pisteissä, jotka ovat:[br][br]suoralla x + y = 200 tai sen yläpuolella ([math]\large y \geq 200 - x[/math])[br]suoralla 0,3x + 0,6y = 100 tai sen alapuolella ([math] y \leq \frac{100-0,3x}{0,6}[/math])[br]suoralla 0,7x + 0,4y = 120 tai sen yläpuolella ([math] y \geq \frac{120-0,7x}{0,4} [/math])[br][br]

Piirretään suorat koordinaatistoon ja etsitään suorien leikkauspisteiden koordinaatit:[br][br][math]\large \begin{cases} [br]x + y = 200\\[br]y = 0\end{cases} \Leftrightarrow[br]\begin{cases}x = 200 \\y = 0[br]\end{cases}[/math][br][br][math]\large\begin{cases}x + y = 200\\[br]0,7x + 0,4y = 120\end{cases}[br] \Leftrightarrow\begin{cases} x = 133,33 \\y = 66,67\end{cases}[/math][br][br][math]\large \begin{cases} [br]0,3x + 0,6y = 100\\[br]0,7x + 0,4y = 120\end{cases}\Leftrightarrow[br]\begin{cases} x = 106,67\\ y = 113,33\end{cases}[/math][br][br][math]\large \begin{cases} 0,3x + 0,6y = 100\\[br]y = 0\end{cases}\Leftrightarrow[br]\begin{cases} x = 333,33 \\y = 0\end{cases}[/math]

Määritetään kustannusfunktion z arvo suorien leikkauspisteissä:[br][br]z(200, 0) = 1400 e[br]z(133,33; 66,67) = 1266,7 e[br]z(106,67; 113,33) = 1313,3 e[br]z(333,33; 0) = 2333,3 e[br][br]Kustannukset ovat minimissään, kun hiekan ja soran seosta toimitetaan 134 m[sup]3[/sup][br]paikasta 1 ja 67 m[sup]3[/sup] paikasta 2.