Das Steigungsdreieck

Einführung

Ein Steigungsdreieck ermöglicht es, den Wert der Steigung m einer linearen Funktion [math]f\left(x\right)=m\cdot x+b[/math] zu bestimmen. Dazu bildet man ein rechtwinkliges Dreieck, das zwei Eckpunkte auf dem Graphen der Funktion hat.

Begriffe im rechtwinkligen Dreieck

Die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden, bezeichnet man als Katheten.

Bewegen des Punktes B

Bewege den Punkt B auf dem Graphen. Was kannst du feststellen?

Je größer die waagerechte Kathete wird, desto kleiner wird die senkrechte Kathete. Je weiter A und B auseinanderliegen, desto länger werden die Katheten. Verdoppelt sich die Länge der senkrechten Kathete, dann verdoppelt sich auch die Länge der waagerechten Kathete. Halbiert sich die Länge der senkrechten Kathete, dann halbiert sich auch die Länge der waagerechten Kathete.

Beide Punkte bewegen

Du darfst nun beide Punkte bewegen. Stelle den Punkt A auf die Koordinaten (1|1,5) und den Punkt B auf die Koordinaten (2|2). Berechne nun den Quotienten aus der Länge der senkrechten Kathete und der Länge der waagerechten Kathete und trage das Ergebnis ein:[br][br][math]\frac{\text{Länge der senkrechten Kathete}}{\text{Länge der waagerechten Kathete}}[/math]

Stelle nun Punkt A auf (0|1) und belasse B an seinem Ort. Berechne erneut den Quotienten:

Nun tauschen wir A und B: B(-2|0) und A(4|3). Du siehst, dass die Pfeile ihre Richtung ändern. Zeigen sie nach links bzw. unten nehmen die Kathetenlängen negative Werte an. Welchen Wert hat der Quotient nun?

Diesen Wert, den du gerade bestimmt hast, nennt man Steigung des Graphen. Du kennst ihn bereits aus der Funktionsgleichung [math]y=m\cdot x+b[/math]. Du hast nun alle Informationen, um die Funktionsgleichung des Graphen zu bestimmen. Trage sie ins Antwortfeld ein. Vergiss den y-Achsenabschnitt nicht!

Fallende Geraden

Wir haben bereits erarbeitet, dass die Steigung negativ sein muss, wenn der Graph fällt. Ermittle mit dem gleichen Quotienten die Steigung dieses Graphen. Achte darauf, dass nun einer der beiden Pfeile einen negativen Wert hat. Wähle zwei Positionen für A und B und berechne dann die Steigung:

Wir sehen also, dass die Steigung negativ ist. Bilde nun für diesen Graphen die Funktionsgleichung und trage sie ein:

Tipp

Orientiere dich beim Bestimmen der Steigung immer an den Kästchen im Matheheft. Wähle also Punkte, bei denen die Koordinaten einfache Werte haben. Dann ist auch der Wert des Quotienten einfacher zu bestimmen.

Übung

Bei folgendem Graphen kannst du die Steigung mit Hilfe des Schiebereglers verändern. Stelle ihn so ein, dass der Graph der jeweiligen Funktion sichtbar wird. Füge das Bild per Screenshot in dein digitales Matheheft ein und ergänze die Funktionsgleichung. (Alternativ: Skizziere die Graphen in ein Koordinatensystem im Matheheft und schreibe die Funktionsgleichungen an die Geraden.)[br]a)[math]y=2x[/math][br]b)[math]y=-\frac{3}{5}x[/math][br]c)[math]y=\frac{1}{5}x[/math][br]d)[math]y=-3x[/math][br]e)[math]y=\frac{3}{4}x[/math][br]

Geschafft

Du hast das Applet erfolgreich beendet. Arbeite nun im Arbeitsheft auf S. 44 weiter. Hattest du Probleme bei der Hausaufgabe auf S. 45, Nr. 3? Dann probiere sie nun erneut!