[size=100][size=150][b]＜２点の距離＞[br][/b][/size][/size]点Pのｘ座標をx(P),ｙ座標をy(P)と表す。（[color=#0000ff]geogebraではこれが使えます[/color]）[br]２点PQのｘ座標の差をdx(PQ）とかくとしたら、dx(PQ)=|x(P)-x(Q)|となる。[br]同様にして、dy(PQ)=|y(P)-y(Q)|[br]２点A(ax,ay),B(bx,by)があるとき線分ABの長さは[math]\sqrt{dx\left(AB\right)^2+dy\left(AB\right)^2}=\sqrt{\left(ax-bx\right)^2+\left(ay-by\right)^2}[/math][br][size=100][size=150][color=#0000ff]線分ABの傾きは(y(P)-y(Q))/(x(P)-x(Q))[br][/color][b]＜円（周）の方程式＞[/b][/size][/size][br]２点X(x,y)、C(a,b)があるとき線分XCの長さの２乗は[math]dx\left(XC\right)^2+dy\left(XC\right)^2=\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2[/math][br]Cが定点で、XCが一定のｒとすると、[br]XはCを中心と半径ｒの[u]円周の点集合（以後、簡単に円）[/u]を表す。[br]円の方程式は[math]\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2\text{＝}r^2[/math][br]中心C＝O(0,0)の場合は、特に[math]x^2+y^2=r^2[/math]となる。[br]中心が原点の単位円は、特に[math]x^2+y^2=1[/math]。[br][size=150][b]＜円の方程式の一般形＞[br][/b][math]\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=r^2[/math][/size]を展開して、陰関数の形にすると、[math]x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0[/math][br]さらに、[math]x^2+y^2+sx+tx+u=0[/math]とかける。xyの項はない。[br][br]（例）x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]+6x+8y+9=0はどのような図形か？[br] [math]\left(x+3\right)^2+\left(y+4\right)^2-9-16+9=0[/math][br] [math]\left(x+3\right)^2+\left(y+4\right)^2=4^2[/math][br] 中心が(-3,-4）で半径４の円。
[b][size=150]＜円と直線の共有点＞[/size][/b][br] 円Pと直線Lの[color=#0000ff]共有点は連立方程式の解だから、２次方程式の解の個数と同じ[/color]。[br] ・共通点が０個：PとLははなれていて、２次方程式の解なし。（D＜０)[br] 円Pの中心Cと直線Lとの距離は半径より大。[br] ・共有点が１個：PとLは接していて、２次方程式は重複解。（D＝０）[br] 円Pの中心Cと直線Lとの距離は半径と等しい。[br] ・共有点が２個：PとLは交わっていて、２次方程式は２実数解。（D＞０）[br] 円Pの中心Cと直線Lとの距離は半径より小。[br][color=#0000ff]（例）[/color][br] 「円ｘ[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]=4がｙ＝ｘ＋ｋ（ｋ＞０）と接するときのｋの値」は？[br] 代入して整理すると、2ｘ²＋2kx+k[sup]2[/sup] -4=0。D/4= k[sup]2[/sup]-2k[sup]2[/sup]+2･4=0 k[sup]2[/sup]=8。k=2√2。[br] （別解）原点からx-y+k=0におろした垂線の長さが√4=2となる。[br] |1･0-1･0+k|/√(1²+1²)=2 k=2√2。[br][b][size=150]＜円の接線＞[/size][/b][color=#0000ff][br] 円ｘ²＋ｙ²＝r²の点P（m,n)における接線はmx＋ny＝ｒ²。[/color][br] （理由）[br] 点Pが円周上にあるので、m²＋ｎ²＝ｒ²。[br] 線分OPの傾きはn/mだから、接線はOPと垂直なので傾きは-m/nとなる。[br] したがって、接線は傾き-m/nで点（m,n)を通る直線である。[br] [math]\left(y-n\right)=-\frac{m}{n}\left(x-m\right)[/math][br] 展開整理すると、n(y-n)+m(x-m)=0。mx+ny=m²+n²=r²。[color=#0000ff][br]（例）[/color]「点P(-5,5)からｘ²＋ｙ²＝10にひいた接線の方程式」は？[br] 接点をQ(m,n)とすると、接線はmx+ny=10となり、[br] Pを通るから-5m+5n=10。n=m+2。[br] 接点はｙ＝ｘ＋２上にあるから、円の方程式に代入して、[br] x²＋2x-3=(x+3)(x-1)=0となる。x=-3,1。[br] x=-3のとき、y=-3+2=-1。Q（−3,−1）を通る接線は-3x-y=10。[br] x=1のとき、y=1+2=3。Q(1,３）を通る接線はx＋3y＝10。[br][color=#0000ff]（例）[/color]「aが1より大きい実数で、円C：ｘ[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]=1と直線ｌ：x=aがあるとき、[br]直線ｌ上の点Pから円Cに引いた２接線の接点をA、Bとする。直線ABが通る定点の座標」は？[br]接点をA(x[sub]1[/sub],y[sub]1[/sub]),B(x[sub]2[/sub],y[sub]2[/sub])とすると、接線APとBPの式がx[sub]1[/sub]x+y[sub]1[/sub]y=1,x[sub]2[/sub]x+y[sub]2[/sub]y=1。[br]点Pの座標を(a,k）とおくと、[br]OPとABは垂直になるから、直線OPとABの式はy=a/k･x, y=-a/k(x-x[sub]1[/sub])+y[sub]1[/sub]。[br]また、PはAP上にあるから、x[sub]1[/sub]x+y[sub]1[/sub]y=1を満たし、x[sub]1[/sub]a+y[sub]1[/sub]k=1となる。[br]だから、ABの式はｋ(y-y[sub]1[/sub])+a(x-x[sub]1[/sub])=ky+ax-(x[sub]1[/sub]a+y[sub]1[/sub]k)=ky+ax-1=0となるね。[br]これが任意のｋについて成り立つ条件はy=0,ax=1。a>1で円外の定点は(1/a, 0)
[b][size=150]＜２円の位置関係＞[/size][/b][br]中心間の距離とｄ，２円の半径をR,ｒとするとき（Rはｒより大きい）。[br]・[u][color=#0000ff]R＋ｒ＝ｄ[/color][/u]なら２円は[color=#0000ff]外接[/color]する。[br] [color=#0000ff][u]Rーｒ＝ｄ[/u][/color]なら２円は[color=#0000ff]内接[/color]する。（大きい円に小さい円がぴったり入る）[br]・R＋ｒ＜ｄなら２円は離れる。[br] Rーｒ＞ｄなら、大きい円の中に接することなく小さい円がはいる。[br]・[color=#0000ff][u]R＋ｒ＞ｄ＞Rーｒ[/u][/color]なら２円は２点で交わる。[br][color=#0000ff]（例）[/color]ｘ²＋ｙ²＝１²と（x−４)²＋(y−３)²＝ｒ²の２円が接するｒは？[br] 中心間の距離ｄ＝５[br] 外接は１＋ｒ＝５から、ｒ＝５−１＝４[br] 内接はｒ−１＝５から、ｒ＝５＋１＝６。[br] （接点は２中心を結ぶ線ｙ＝３/４x上にある。）[br] [br][color=#0000ff]（例）[/color]ｘ²＋ｙ²＝１²と（x−４)²＋(y−３)²＝3²の２円が接する直線が通る定点は？[br] 円の中心をO(0,0),ｐ(4,3)とするとき、OP=５。[br] ２円の共通外接線の接点を円OはR,S、円Pはその順にT,Uとする。[br] RTの延長線とSUの延長線の交点をVとすると、Vは直線OP上にある。[br] [color=#0000ff]三角形VORとVPTの相似比は半径比[u]１：3[/u][/color]だから、[br] [u]OはVPを[color=#0000ff]１：３に外分[/color][/u]している。[br] だから、定点V（-4/2,-3/2)=(-2.-1.5)を通る。[br] 共通内接線も同様に相似比を使うと、[br] [u]OPを[color=#0000ff]１：３に内分[/color]する定点W[/u]（4/4,3/4)=(1,0.25)を[br] 通過する。[br]
円も放物線も２次曲線[br]１文字の関数したり、調べやすく式変形しよう。[br][color=#0000ff]（例）[/color]「放物線y=x[sup]2[/sup]+k、円x[sup]2[/sup]+y[sup]2[/sup]=4が異なる４つ共有点をもつときのｋの範囲」は？[br] 放物線のｙ切片k=-2で円と１点で接するときと放物線と円が２点で接するまでの間。[br] kは−２より小で、[br] x[sup]2[/sup]=tでy=t+kを円の式に代入しt+(t+k)[sup]2[/sup]-4=t[sup]2[/sup]+(2k+1)t+k[sup]2[/sup]-4=0の[br] D=(2k+1)[sup]2[/sup]-4(k[sup]2[/sup]-4)=4k+17>0から、ｋは-17/4より大。[br][color=#0000ff]（例）[/color]「aが1以上で、放物線y=a/2・x[sup]2[/sup]と円x[sup]2[/sup]+(y-a)[sup]2[/sup]=aが接するときのaの値」は？[br] 原点を通る放物線だから、円が原点を通り原点で接するか、原点以外の２点で接する。[br] 円が原点を通るときは、中心(0,a)から原点までの距離が半径√aと等しくa=1。[br] a≠１のとき、x[sup]2[/sup]=tでy=a/2tを円の式に代入しf(t)=t+(a/2･t - a)[sup]2[/sup]-a=a[sup]2[/sup]/4･t[sup]2[/sup]+(1-a[sup]2[/sup])t+a[sup]2[/sup]-a=0の[br] D=(1-a[sup]2[/sup])[sup]2[/sup]-4a[sup]2[/sup]/4(a[sup]2[/sup]-a)=a[sup]4 [/sup]- 2a[sup]2[/sup]+1 -a[sup]4[/sup]+a[sup]3[/sup]=a[sup]3[/sup]-2a[sup]2[/sup]+1=(a-1)(a[sup]2[/sup]-a-1)=0。[br] a[sup]2[/sup]-a-1＝０からa=(1+√5)/2。このとき、1-a[sup]2[/sup]=-a,a[sup]2[/sup]-a=1[br] このとき、4f(t)=a[sup]2[/sup]t[sup]2[/sup]+4(1-a[sup]2[/sup])t+4(a[sup]2[/sup]-a)=a[sup]2[/sup]t[sup]2 [/sup]- 4at+4=0 t=2a=x[sup]2[/sup]。[br] y=2a/2・t=a/2・2a=a[sup]2[/sup]。(x,y)=(±√(2a), a[sup]2[/sup])と求めることができる。