[size=150][b]La integral de una función escalar sobre una superficie.[br][br][/b]Si [math]f(x,y,z)[/math] es una función continua de valor real definida en una superficie parametrizada[br][math]S[/math], definimos [b]la integral de[/b] [math]f[/math] [b]sobre[/b] [math]S[/math] como[br][br] [math]\int\int_Sf\left(x,y,z\right)dS=\int\int_SfdS=\int\int_Df\left(\Phi\left(u,v\right)\right)\parallel T_u\times T_v\parallel dudv.[/math][/size]

[size=150][b]1.-Evalúa la integral de la función [/b][math]f(x,y,z)=x+y[/math][b] sobre la superficie S dada por:[/b][/size][br] [math]\Phi(u,v)=(2ucosv,2usinv,u)[/math], [math]u∈[0,4][/math], [math]v∈[0,\pi][/math].[br][br]Calcula las derivadas parciales de Φ(u, v):[br][br][math]Φ_u=(2cosv,2sinv,1)[/math] y [math]Φ_v=(-2usinv,2ucosv,0)[/math][br][br]Calcula el producto cruz [math]T_u\times T_v[/math]:[br][br][math]T_u\times T_v=\left(0-\left(2ucosv\right)\right)i-\left(0-\left(-2usinv\right)\right)j+\left(2cosv\left(2ucosv\right)-\left(-2usenv\left(2senv\right)\right)\right)k=(-2ucosv,-2usinv,4u)[/math][br][br]Calculamos la magnitud:[br][br][math]||T_u\times T_v||=\sqrt{(-2ucosv)^2+(-2usinv)^2+(4u)^2}=\sqrt{4u^2(cos^2v+sin^2v)+16u^2}=\sqrt{20u^2}=2u\sqrt{5}[/math][br][br]Ahora, evaluamos la integral:[br][br][math]∬_Sf(x,y,z)dS=∬_R(2ucosv+2usinv)(2u\sqrt{5})dudv=4\sqrt{5}∬_Ru^2(cosv+sinv)dudv[/math][br][br]Primero, integremos con respecto a u:[br][br][math]4\sqrt{5}\int_0^4u^2(cosv+sinv)du=4\sqrt{5}\left[\frac{u^3}{3}(cosv+sinv)\right]^4_0=4\sqrt{5}\left[(1/3)(4^3)(cosv+sinv)-(1/3)(0^3)(cosv+sinv)\right]=\frac{256\sqrt{5}}{3}\left[(cosv+sinv)\right].[/math][br][br]Ahora, integramos el resultado con respecto a v:[br][br][math]\int_0^{\pi}\frac{256\sqrt{5}}{3}(cosv+sinv)dv=\frac{256\sqrt{5}}{3}\left[sinv-cosv\right]_0^{\pi}=\frac{256\sqrt{5}}{3}(1-(-1))=\frac{512\sqrt{5}}{3}[/math][br][br]Por lo tanto, el valor de la integral de superficie es [math]\frac{512\sqrt{5}}{3}[/math].[br]

[b][size=150]2.-Evalúa la integral de la función f (x, y, z) = z + 6 sobre la superficie S dada por:[/size][/b][br] [math]\Phi(u,v)=(u,\frac{v}{3},v)[/math], [math]u∈[0,2][/math], [math]v∈[0,3][/math].[br][br]Calculamos las derivadas parciales:[br] [math]Φ_u=(1,0,0)[/math] y [math]Φ_v=(0,\frac{1}{3},1)[/math][br]Calculamos el producto cruz:[br][br][math]T_u\times T_v=\left(0-0\right)i-\left(1-0\right)j+\left(\frac{1}{3}-0\right)k=\left(0,-1,\frac{1}{3}\right)[/math][br][br]Calculamos la magnitud:[br][br][math]||T_u\times T_v||=\sqrt{(0)^2+(-1)^2+(1/3)^2}=\sqrt{1+1/9}=\sqrt{\frac{10}{9}}=\frac{\sqrt{10}}{3}[/math][br][br]Ahora, evaluamos la integral:[br][br][math]∬_Sf(x,y,z)dS=\frac{\sqrt{10}}{3}∬_R(v+6)dudv=\frac{\sqrt{10}}{3}∬_R(v+6)dudv[/math][br][br]Primero, integremos con respecto a u:[br][br][math]\int^2_0\frac{\sqrt{10}}{3}(v+6)du=\left[\frac{\sqrt{10}}{3}(v+6)u\right]^2_0=\frac{2\sqrt{10}}{3}(v+6)[/math][br][br]Ahora, integramos el resultado con respecto a v:[br][br][math]\frac{2\sqrt{10}}{3}\int^3_0(v+6)dv=\left[\frac{\sqrt{10}v\left(v+12\right)}{3}\right]^3_0=\left[\left(\frac{\sqrt{10}\left(3\right)\left(3+12\right)}{3}\right)-\left(\frac{\sqrt{10}\left(0\right)\left(0+12\right)}{3}\right)\right]=15\sqrt{10}-0=15\sqrt{10}\approx47.43.[/math][br][br]Por lo tanto, el valor de la integral de superficie es [math]15\sqrt{10}[/math].[br]

[size=150][b]3.-Evalúa la integral[br] [/b][math]∬_S(3x−2y+z)dS[/math][b],[br]donde S es la porción del plano [/b][math]2x+3y+z=6[/math][b] que se encuentra en el primer octante.[br][br][/b][/size]Primero, parametrizamos:[br] [math]x=u[/math], [math]y=v[/math] y [math]z=6-2u-3v[/math][br]Ahora, la parametrización de la superficie S utilizando los límites encontrados. Podemos tomar:[br][br] [math]\Phi\left(u,v\right)=\left(u,v,6-2u-3v\right)[/math], donde [math]u∈[0,3][/math] y [math]v∈[0,2][/math].[br][br]Calculamos las derivadas parciales:[br][br] [math]Φ_u=(1,0,-2)[/math] y [math]Φ_v=(0,1,-3)[/math][br]Calculamos el producto cruz:[br][br] [math]T_u\times T_v=\left(0-\left(-2\right)\right)i-\left(-3-\left(0\right)\right)j+\left(1-\left(0\right)\right)k=\left(2,3,1\right)[/math][br][br]Calculamos la magnitud:[br][br][math]||T_u\times T_v||=\sqrt{(2)^2+(3)^2+(1)^2}=\sqrt{4+9+1}=\sqrt{14}[/math][br][br]Ahora, podemos evaluar la integral:[br][br][math]∬_S(3x-2y+z)dS=∬_R(3u-2v+(6-2u-3v))||T_u\times T_v||dudv=∬_R(u-2v+6)\sqrt{14}dudv.[/math][br][br]Primero, integramos con respecto a u:[br][br][math]\sqrt{14}\int^3_0(u-2v+6)du=\left[\frac{\sqrt{14}u\left(u-4v+12\right)}{2}\right]^3_0=-\frac{\sqrt{14}\left(12v-45\right)}{2}[/math][br][br]Ahora, integramos el resultado con respecto a v:[br][br][math]\int^2_0-\frac{\sqrt{14}\left(12v-45\right)}{2}dv=\left[-\frac{3\sqrt{14}v\left(2v-15\right)}{2}\right]^2_0=33\sqrt{14}[/math][br][br]Por lo tanto, el valor de la integral de superficie es [math]33\sqrt{14}[/math].[br]

[size=150][b]4.-[/b][b]Evalúa la integral[br] [/b][math]∬_S(x+z)dS[/math][b],[br]donde S es la parte del cilindro [/b][math]y^2+z^2=4[/math][b] con [/b][math]x∈[0,5][/math][b].[br][/b][/size][br]La ecuación del cilindro se puede parametrizar como:[br] [br][math]Φ(u,v)=(u,2cos(v),2sin(v))[/math], donde [math]u∈[0,5][/math] y [math]v∈[0,2\pi][/math].[br][br]Calculamos las derivadas parciales:[br][br][math]Φ_u=(1,0,0)[/math] y [math]Φ_v=(0,-2sin(v),2cos(v))[/math][br][br]Calculamos el producto cruz:[br][br][math]T_u\times T_v=\left(0-0\right)i-\left(2cos\left(v\right)-0\right)j+\left(-2sin\left(v\right)-0\right)=(0,-2cos(v),-2sin\left(v\right))[/math][br][br]Calculamos la magnitud:[br][br][math]\parallel T_u\times T_v\parallel=\sqrt{\left(0\right)^2+\left(-2cos\left(v\right)\right)^2+\left(-2sin\left(v\right)\right)^2}=\sqrt{4cos^2\left(v\right)+4sin^2\left(v\right)}=\sqrt{4\left(cos^2\left(v\right)+sin^2\left(v\right)\right)}=\sqrt{4}=2[/math][br][br]Ahora, podemos evaluar la integral:[br][br][math]∬_S(x+z)dS=∬_R(u+2sin(v))||T_u\times T_v||dudv=2∬_R(u+2sin(v))dudv.[/math][br][br]Primero, integramos con respecto a u:[br][br][math]\int^5_02(u+2sin(v))du=\left[u\left(u+4sin\left(v\right)\right)\right]^5_0=20sin\left(v\right)+25[/math][br][br]Ahora, integramos el resultado con respecto a v:[br][br][math]\int^{2\pi}_0\text{20[br]sin[br]([br]v[br])[br]+[br]25}dv=\left[\text{25[br]v[br]−[br]20[br]cos[br]([br]v[br])}\right]^{2\pi}_0=\left[\text{25[br](2\pi)−[br]20[br]cos[br]([br]2\pi[br])-(\text{25[br](0)−[br]20[br]cos[br]([br]0)})}\right]=\left[50\pi-20-\left(0-20\right)\right]=50\pi[/math][br][br]Por lo tanto, el valor de la integral de superficie es [math]50\pi[/math].