[size=85]Figuras 1, 2 e 3: Interseção do gráfico da função com os planos coordenados.[/size]
4.6 Exemplo: construindo o gráfico de uma função
[justify][size=100]Para representação gráfica de superfícies ou gráficos de funções é conveniente observar os seguintes passos:[br][br]• 1. Domínio da função;[br]• 2. Interseções com os eixos coordenados;[br]• 3. Interseções com os planos coordenados;[br]• 4. Curvas de nível: [math]z=k[/math], com [math]k\in\mathbb{R}[/math];[br]• 5. Se necessário, traços em [math]x=k[/math] e [math]y=k[/math].[/size][/justify]
Exemplo 1
[size=100]Esboce o gráfico da função [math]f(x,y)=x^2-\frac{y^2}{4}[/math][/size]:
1. Domínio da função
[size=100]Neste caso não temos nenhuma restrição para os valores de x e de y. [math]D(f)=\mathbb{R}^2[/math].[/size]
2. Interseção com os eixos coordenados
[justify][size=100]Analisando os pontos [math](x,0,0)[/math]; [math](0,y,0)[/math]; e [math](0,0,z)[/math], podemos concluir que o gráfico passa pela origem [math](0,0,0)[/math].[/size][/justify]
3. Interseção com os planos coordenados
[justify][size=100][/size][/justify][justify][size=100][/size][size=100]• Sobre o plano xy: fazendo z=0 tem-se [math]x^2-\frac{y^2}{4}=0[/math][math]\Longrightarrow[/math][math]\frac{y^2}{4}=x^2\Rightarrow y^2=4x\Rightarrow y=\pm2x[/math], duas retas passando pela origem. (Figura 1)[br]• Sobre o plano xz: fazendo y=0 tem-se a parábola [math]z=x^2[/math] (Figura 2).[br]• Sobre o plano yz: fazendo x=0 tem-se a parábola [math]z=-\frac{y^2}{4}[/math] (Figura 3).[/size][/justify]
4. Curvas de nível com z = k
[size=100]Fazendo [math]z=k[/math], com [math]k\in\mathbb{R}[/math] tem-se a equações de hipérboles [math]x^2-\frac{y^2}{4}=k[/math]. Na figura 4 (a) tem-se a curva de nível para [math]z=2[/math] e na figura 4 (b) tem-se a curva de nível para [math]z=-1[/math]. Na figura 5 (a) tem-se representadas algumas curvas de nível, e na figura 5 (b) tem-se a visão de cima das curvas de nível.[/size]
[size=85]Figura 4 - Curvas de nível da função.[/size]
[size=85]Figura 5 - Curvas de nível (z=k) da função.[/size]
5. Traços em x=k e y=k
[size=100]Para [math]x=k[/math] tem-se parábolas da forma [math]z=k-y^2/4[/math] (Figura 6 (a)).[br]Para [math]y=k[/math] tem-se parábolas da forma [math]z=x^2-k[/math] (Figura 6 (b)).[/size]
[size=85]Figura 6 - Curvas de nível da função para x=k e y=k.[/size]
Gráfico da função
[size=100]Os elementos fornecidos pela discussão acima permitem construir o paraboloide hiperbólico, conforme a figura 7.[/size]
[size=85]Figura 7 - Gráfico de um paraboloide hiperbólico[/size]
[size=85][url=http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/][img]https://i.creativecommons.org/l/by-nc/4.0/88x31.png[/img][/url][br]Este trabalho está licenciado com uma Licença [url=http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/]Creative Commons - Atribuição-NãoComercial 4.0 Internacional[/url].[/size]