[size=85]Oldjuk meg a rendezett valós számpárok halmazán a következő egyenletrendszert![br][math]x^2+y^2=1\left(1\right)[/math][br][math]\frac{x}{1+y}=\frac{\sqrt{3}}{3}\left(2\right)[/math][/size]

[size=85]A körnek és az egyenesnek két közös pontja van, a GeoGebra csak az egyiknek feleltet meg megoldást. Mi ennek az oka?[br][br][/size][size=85]A (2) egyenlet bal oldala algebrai tört, így annak nevezőjében nem lehet 0, így [math]y\ne-1[/math].[/size]

[size=85]Az (1) egyenlet esetén, a [url=https://matekarcok.hu/trigonometrikus-pitagorasz-tetel/]trigonometrikus Pitagorasz-tétel[/url]nek köszönhetően alkalmazható az [math]x=sin\alpha.y=cos\alpha[/math][/size] [size=85]helyettesítés. Ekkor a (2) egyenlet a [math]\frac{sin\alpha}{1+cos\alpha}=\frac{\sqrt{3}}{3}[/math][/size] [size=85]alakot ölti. A [url=https://www.mathreference.org/index/page/id/77/lg/hu]félszögek szögfüggvényei[/url] alapján adódik, hogy [math]tg\left\langle\frac{\alpha}{2}\right\rangle=\frac{\sqrt{3}}{3}[/math]. Innen[br][math]\frac{\alpha}{2}=\frac{\pi}{6}+k\pi[/math][br][math]\alpha=\frac{\pi}{3}+2k\pi[/math][br][math]x=sin\left\langle\frac{\pi}{3}\right\rangle=\frac{\sqrt{3}}{2},y=cos\left\langle\frac{\pi}{3}\right\rangle=\frac{1}{2}[/math][/size]