In den letzten Stunden haben wir uns Veränderungen von Funktionen angeschaut und die Veränderungen der Funktionswerte in einem bestimmten Intervall mit dem Differenzenquotient berechnet. [br][br]Geometrisch haben wir dabei die Steigung der Sekante durch zwei Punkte [math]A\left(x_1|y_1\right)[/math] und [math]B\left(x_2|y_2\right)[/math] mithilfe eines Steigungsdreiecks [math]m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}[/math] berechnet. [br]Nun wollen wir das Intervall, d.h. den Abstand zwischen [math]x_1[/math] und [math]x_2[/math] verringern. Allgemein bezeichnen wir diesen Abstand zwischen [math]x_1[/math] und [math]x_2[/math] mit h. Wir bezeichnen nun [math]x_1=x_0[/math] und da der Abstand zwischen [math]x_1[/math] und [math]x_2[/math] gerade h ist, gilt [math]x_2=x_0+h[/math]. Außerdem gilt: [math]y_1=f\left(x_0\right)[/math] und [math]y_2=f\left(x_0+h\right)[/math]. Nun können wir die in die Formel des Differenzenquotient einsetzen und erhalten:[br][br][math]m=\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{x_0+h-x_0}=\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}[/math].[br][br]Auch diese allgemeine Form lässt sich geometrisch darstellen. Wir können dabei [math]x_0[/math] und h mithilfe des Schiebereglers verändern

a) Setze die Funktion[math]f\left(x_0\right)=x_0^{ }^2[/math]und [math]f\left(x_0+h\right)=\left(x_0+h\right)^2[/math] in den Differenzquotienten ein.[br]b) Multipliziere die Klammer im Zähler aus.[br]c) Vereinfache den Zähler soweit wie möglich.

[justify]a) Beschreibe kurz in Worten, wie in der Grafik aus der Sekante eine Tangente wird. Welcher Schieberegler muss verwendet werden und welchen Wert muss er annehmen?[br][br][b]VERGLEICHEN[/b][/justify]

Der Differentialquotient ist der Grenzwert [math]h\longrightarrow0[/math] des Differenzquotienten. Um diesen Grenzwert zu bilden muss zunächst sichergestellt werden, dass nicht durch Null geteilt wird:[br] [br]a) Notiere den Term aus Aufgabe 1c) und kürze [math]h[/math] im Zähler und Nenner. [br]b) Setze nun [math]h=0[/math] ein und streiche alle Terme, die dadurch den Wert 0 annehmen.[br][br][br][br][br][br][br][br]

Wenn du alles erledigt hast, bleibt [math]m=2\cdot x_0[/math] als Gleichung stehen.[br]Berechne m für die Werte:[br][br] a) [math]x_0=1[/math][br] b) [math]x_0=2[/math][br] c) [math]x_0=-1,3[/math][br] d)[math]x_0=0,7[/math][br][br]Vergleiche mit der Grafik. Überprüfe deine Antwort mit den untendstehenden Aufgaben.