[b]1. Begriffe und Definitionen (4 Punkte)[/b][br][br]a) [b]Definitionen:[/b][br][list][*][b]Radius[/b]: Der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zu einem beliebigen Punkt auf dem Kreis.[/*][*][b]Durchmesser[/b]: Die längste Sehne eines Kreises, die durch den Mittelpunkt verläuft. Er ist doppelt so lang wie der Radius.[/*][*][b]Tangente[/b]: Eine Gerade, die den Kreis in genau einem Punkt berührt.[/*][*][b]Sekante[/b]: Eine Gerade, die den Kreis in zwei Punkten schneidet.[/*][*][b]Passante[/b]: Eine Gerade, die den Kreis nicht schneidet und nicht berührt.[/*][/list][br]b) [b]Zusammenhang zwischen Durchmesser und Radius:[/b][br]d=2rd = 2rd=2r (Der Durchmesser ist immer doppelt so lang wie der Radius.)[br][br][b]2. Konstruktion eines Kreises[/b] [i](3 Punkte)[/i][br][br][list][*]Ein Kreis mit [b]Radius 4 cm[/b] wird gezeichnet.[/*][*][b]M[/b] wird als Mittelpunkt markiert.[/*][*]Eine [b]Sehne[/b] (eine Verbindungslinie zwischen zwei Punkten auf dem Kreis) wird eingezeichnet.[/*][*]Eine [b]Tangente[/b] wird eingezeichnet – sie berührt den Kreis in genau einem Punkt.[/*][*]Eine [b]Sekante[/b] wird eingezeichnet – sie schneidet den Kreis in zwei Punkten.[/*][/list][br]→ [b]Punktevergabe:[/b] 0,5 Punkte pro richtigem Element (Kreis, Sehne, Tangente, Sekante, richtige Beschriftung).[br][br][b]3. Satz des Thales[/b] [i](4 Punkte)[/i][br][br]a) [b]Definition[/b]:[br]Der Satz des Thales besagt: „Ein Dreieck, dessen Hypotenuse der Durchmesser eines Kreises ist, hat immer einen rechten Winkel gegenüber dem Durchmesser.“[br][br]b) [b]Konstruktion:[/b][br][list][*]Ein Kreis mit Durchmesser [b]6 cm[/b] wird gezeichnet.[/*][*]Zwei Punkte AAA und BBB auf dem Kreis markieren den Durchmesser.[/*][*]Ein beliebiger Punkt CCC auf dem Kreis wird gewählt.[/*][*]Die Strecken ACACAC und BCBCBC werden eingezeichnet.[/*][*]Der rechte Winkel wird markiert.[/*][/list][br]→ [b]Punktevergabe:[/b][br]1 Punkt für richtige Definition, 3 Punkte für korrekte Konstruktion.

[b]4. Kreisberechnungen (6 Punkte)[br][br][/b][list][*][b]Gegeben:[/b][list][*]d=60d = 60d=60 cm → [b]Radius[/b]: r=d2=30r = \frac{d}{2} = 30r=2d​=30 cm[/*][*][b]Kreisumfang[/b]:[br]U=2πr=2π⋅30=188.4 cmU = 2 \pi r = 2 \pi \cdot 30 = 188.4 \text{ cm}U=2πr=2π⋅30=188.4 cm[/*][*][b]Flächeninhalt des Kreises[/b]:[br]A=πr2=π⋅302=2827.4 cm2A = \pi r^2 = \pi \cdot 30^2 = 2827.4 \text{ cm}^2A=πr2=π⋅302=2827.4 cm2[/*][*][b]Strecke nach 10 Umdrehungen[/b]:[br]10⋅U=10⋅188.4=1884 cm=18.84 m10 \cdot U = 10 \cdot 188.4 = 1884 \text{ cm} = 18.84 \text{ m}10⋅U=10⋅188.4=1884 cm=18.84 m[/*][/list][/*][/list][br]→ [b]Punktevergabe:[/b] 2 Punkte pro richtige Berechnung.[br][b][br]5. Konstruktion von Tangenten[/b] [i](5 Punkte)[/i][br][b][br]Schritte:[/b][br][list=1][*]Zeichne den Kreis mit [b]Radius 5 cm[/b] und Mittelpunkt [b]M[/b].[/*][*]Markiere den Punkt [b]P[/b], der [b]8 cm vom Mittelpunkt M entfernt[/b] ist.[/*][*]Zeichne die [b]Strecke MP[/b].[/*][*]Konstruieren der [b]Mittelsenkrechten[/b] von [b]MP[/b] (halbiere MP und zeichne eine Senkrechte durch den Mittelpunkt).[/*][*]Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten mit [b]MP[/b] ist der Mittelpunkt eines neuen Kreises, der durch [b]M und P[/b] verläuft.[/*][*]Zeichne diesen Hilfskreis.[/*][*]Die Schnittpunkte dieses Kreises mit dem ursprünglichen Kreis sind die Berührungspunkte der [b]Tangenten[/b].[/*][*]Ziehe die beiden [b]Tangenten[/b] von [b]P[/b] zu diesen Berührungspunkten.[/*][/list][br]→ [b]Punktevergabe:[/b] 5 Schritte je 1 Punkt.

[b]6. Beweis des Peripheriewinkelsatzes[/b] [i](6 Punkte)[/i][br][br][list][*][b]Formulierung:[/b][br]„Ein Peripheriewinkel über einem Kreisbogen ist immer halb so groß wie der entsprechende Zentriwinkel.“[/*][*][b]Beweisidee:[/b][list][*]Der Zentriwinkel wird in zwei gleich große Teile zerlegt.[/*][*]Jeder Teil entspricht einem Peripheriewinkel.[/*][*]Daraus folgt: [b]Zentriwinkel = 2 × Peripheriewinkel[/b].[/*][/list][/*][/list][br]→ [b]Punktevergabe:[/b] 1 Punkt für die richtige Formulierung, 5 Punkte für den mathematischen Beweis.[br][br][b]7. Optimales Pizza-Angebot[/b] [i](5 Punkte)[/i][br][br][list][*][b]Berechnung der Flächeninhalte:[/b][br][list][*]Klein:[br][math]A=\pi\left(\frac{20}{2}\right)^2=314.16cm^2[/math][/*][*]Mittel:[br][math]A=\pi\left(\frac{30}{2}\right)^2=706.86\text{ cm}^2A[/math][/*][*]Groß:[br][math]A=\pi\left(\frac{40}{2}\right)^2=1256.64\text{ cm}^2[/math][/*][/list][/*][*][b]Preis pro cm²:[/b][br][list][*]Klein: 5.99/314.16  ≈0.019 €/cm²[/*][*]Mittel: 8.99/706.86 ≈0.0127 €/cm²[/*][*]Groß: 11.99/1256.64 ≈0.0095 €/cm²[/*][/list][/*][/list][br]→ [b]Ergebnis:[/b] Die [b]größte Pizza ist am günstigsten pro cm²[/b].[br][br]→ [b]Punktevergabe:[/b] 2 Punkte für richtige Flächenberechnung, 2 Punkte für Preisberechnung, 1 Punkt für die korrekte Interpretation.