Ο αγώνας δρόμου ανάμεσα στη χελώνα και το λαγό γίνεται σύμφωνα μα τους ακόλουθους[br]κανόνες:[br][br][list][*]Η διαδρομή είναι τμήμα ενός ευθυγράμμου τμήματος.[/*][*]Ο λαγός ξεκινάει τη χρονική στιγμή t=0 από ένα σημείο Ο.[/*][*]Το σημείο τερματισμού βρίσκεται σε σημείο Μ με OM>600 μέτρα.[/*][*]Η χελώνα ξεκινάει τη στιγμή t=0 με προβάδισμα, δηλαδή από ένα σημείο Α που βρίσκεται μεταξύ του Ο και του Μ με OA=600 μέτρα.[/*][/list]Υποθέτουμε ότι, για t>0,η απόσταση του λαγού από το Ο τη χρονική στιγμή t min δίνεται από τον τύπο s[sub]Λ[/sub](t)=10t[sup]2[/sup] μέτρα, ενώ η απόσταση χελώνας από το O τη χρονική στιγμή t min δίνεται από τον τύπο s[sub]x[/sub](t)=600+40t μέτρα.
[justify][b]Ερώτηση 1[/b][br]Πατώντας το κουμπί "δείξε γραφήματα" απεικονίζονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων s[sub]Λ[/sub](t)=10t[sup]2[/sup] και s[sub]x[/sub](t)=600+40t που αντιστοιχούν στις θέσεις των δύο ζώων. Για ποια τιμή του t τέμνονται οι δύο γραφικές παραστάσεις; Πως το ερμηνεύετε σε σχέση με τη θέση των δυο ζώων; [br][br](Χρησιμοποιείστε το δρομέα t για να δείτε πως αλλάζει με το χρόνο η θέση τους)[br][/justify]
την t=10 τα δύο ζώα βρίσκονται στο ίδιο σημείο.
[b]Ερώτηση 2[/b][br]Για ποιες τιμές του t η γραφική παράσταση της παραβολής είναι «πάνω» από αυτής της ευθείας; Πως το ερμηνεύετε σε σχέση με τη θέση των δύο ζώων;[br][br][br]
για t>10 min η παραβολή είναι "πάνω" από την ευθεία, άρα ο λαγός έχει προβάδισμα, διαφορετικά το προβάδισμα το έχει η χελώνα.
[b]Ερώτηση 3[/b][br][br]Με βάση την ερμηνεία που κάνατε στην προηγούμενη ερώτηση, να φτιάξετε μια ανίσωση δευτέρου βαθμού σχετικά με το πότε η χελώνα προηγείται του λαγού και να την επιλύσετε. Συμφωνεί η λύση σας με το γράφημα;[br][br][br]
Η ανίσωσή είναι 10t[sup]2[/sup]>600+40t, με τον περιορισμό ότι t>0[br]Η λύση της είναι t>10 min, όπως στο γράφημα.[br][br]
[b]Ερώτηση 4[/b][br][br]Με τη βοήθεια του δρομέα "τέρμα" μετακινήστε το σημείο τερματισμού σε απόσταση 800[br]μέτρα από το σημείο Ο. Βρείτε πόσο χρόνο θα έκανε κάθε ζώο για να βρεθεί σε απόσταση 800[br]μέτρα από το σημείο Ο; Ποιος θα κέρδιζε αν το σημείο τερματισμού είναι σε απόσταση[br]800 μέτρα από το σημείο Ο;[br][br][br]
ο λαγός περίπου 9 min και η χελώνα 5 min, άρα νικητής η χελώνα
[b]Ερώτηση 5[/b][br][br]Με τη βοήθεια του δρομέα "τέρμα" μετακινήστε το σημείο τερματισμού σε απόσταση 1100[br]μέτρα από το σημείο Ο. Βρείτε πόσο χρόνο θα έκανε κάθε ζώο για να βρεθεί σε απόσταση 1100[br]μέτρα από το σημείο Ο; Ποιος θα κέρδιζε αν το σημείο τερματισμού είναι σε απόσταση[br]1100 μέτρα από το σημείο Ο;
ο λαγός περίπου 10,5 min και η χελώνα 12,5 min, άρα νικητής ο λαγός
[b]Ερώτηση 6[/b][br][b] [br][/b]Σε πόση απόσταση από το O θα πρέπει να βρίσκεται το σημείο τερματισμού (M) του αγώνα,[br]ώστε η χελώνα να κερδίσει τον αγώνα.[br][br][br][br]
[b]Επέκταση[/b][br]Υποθέτουμε τώρα ότι η απόσταση του τέρματος M από το O είναι ΟΜ=2250 μέτρα. Να βρείτε:[br][br][br]
Ποια χρονική στιγμή ο λαγός φτάνει τη χελώνα;
Ποιος από τους δύο δρομείς προηγείται τη χρονική στιγμή t=12 min και ποια είναι τότε η μεταξύ τους απόσταση;[br](πατήστε το κουμπί "προβάδισμα")
Ποια χρονική στιγμή τερματίζει ο νικητής τον αγώνα;[br][br][br]
[br]Που βρισκόταν η χελώνα, όταν τερμάτισε ο λαγός και πόσα μέτρα έτρεξε μέχρι εκείνη τη στιγμή;[br][br][br]
Η χελώνα, όταν τερμάτισε ο λαγός, βρισκόταν 1200 μέτρα από το Ο και έτρεξε μέχρι εκείνη τη στιγμή 600 μέτρα[br]
Εντοπίστε από το γράφημα (προσεγγιστικά) ποια χρονική στιγμή η χελώνα έχει το μεγαλύτερο προβάδισμα. [br][br][br]
Υπολογίστε αλγεβρικά ποια χρονική στιγμή [u]η χελώνα[/u] έχει το μεγαλύτερο προβάδισμα και πόσο είναι αυτό;[br][br][br]
η συνάρτηση προβάδισμα(t)=600+40t-10t[sup]2[br][/sup]έχει μέγιστο στο t=-β/2α=-40/-20=2 min[br]και τότε προβάδισμα(2)=600+40*2-10*2[sup]2[/sup] =640 μέτρα
Εντοπίστε ποια χρονική στιγμή [u]ο λαγός[/u] έχει το μεγαλύτερο προβάδισμα και πόσο είναι αυτό.[br][br][br]
t=15 min, με προβάδισμα 1050 μέτρα