Es ist wohl bekannt, dass [math]1+2+3+\ldots+n=\frac{n\cdot\left(n+1\right)}{2}.[/math] Ebenfalls sehr bekannt, aber schwieriger zu beweisen ist Folgendes: [math]1\cdot1+2\cdot2+3\cdot3+\ldots+n\cdot n=\frac{n\cdot\left(n+1\right)\cdot\left(2n+1\right)}{6}.[/math] In der Regel wird diese letztere Formel durch Induktion bewiesen, aber das verbirgt den geometrischen Hintergrund der rechten Seite dieser Gleichung.[br]Vor Kurzem habe ich eine „Beweis-ohne-Worte“-Erklärung dieser wichtigen Formel gelesen, veröffentlicht von Man-Keung Siu von der Universität Hongkong. Daraufhin habe ich beschlossen, diese Visualisierung in GeoGebras 3D-Engine zu erstellen. Programmiert von Mathieu Blossier und dem GeoGebra-Team.[br]Früher war das Applet ist aus technischen Gründen auf [math]n\le3[/math] begrenzt. Mittlerweile kann [math]n[/math] auch höher gewählt werden. In diesem Fall wurde exemplarisch [math]n=4[/math] gewählt. Wenn Sie das Material herunterladen, können Sie [math]n[/math] in der Desktop-Version erhöhen. Dafür müssen Sie einfach das Maximum des Schiebereglers bearbeiten.

Tatsächlich ist die bewiesene Formel Folgende: [math]\frac{n\cdot(n+\frac{1}{2})\cdot(n+1)}{3}[/math] welche äquivalent zu dem bereits bekannten Produkt ist.[br][br]Durch Umformen erhält man nämlich: [math]\frac{n\cdot(n+1)\cdot(n+\frac{1}{2}​)​}{3}=\frac{n\cdot(n+1)\cdot(2n+1)​}{6}[/math][br]