[size=150][color=#ff0000]COMBINARE LE DISEQUAZIONI: UNIFORMARE INTERVALLO E PERIODICITÀ[/color][/size][br]Per le disequazioni più complesse, in cui si devono poter confrontare i risultati di due disequazioni parziali (tipicamente perché le si sta confrontando in uno studio del segno) [b]è opportuno riportare tutte le soluzioni nello stesso intervallo di angoli - di solito si sceglie quello tra 0° e 360°[/b]. [br][br]Supponiamo ad esempio di dover risolvere la disequazione:[br][br][math]\Large{\frac{3\tan \alpha +2}{\sqrt{2}-2 \cos \alpha}\le 0}[/math][br][br]Si tratta di una disequazione fratta, di cui conosciamo la logica risolutiva. [br][br][color=#ff0000]1) Innanzitutto dobbiamo porre le condizioni di esistenza[/color][br][math]C.E.\begin{cases} \sqrt{2}-2 \cos \alpha \neq 0 \\ \alpha \neq 90°+k180°\end{cases}[/math][br][br]Le seconde C.E. sono quelle per l'esistenza della tangente, ovvero che [math]\cos \alpha \neq 0[/math]. Non risolviamo qui le C.E. perché non sono la cosa che ci interessa affrontare in questo momento.[br][br][color=#ff0000]2) dobbiamo poi studiare il segno di numeratore e denominatore[/color][br][math]\large{\begin{array}{ll}\textcolor{red}{A^+?\ 3\tan \alpha +2 \ge 0 }\\ \textcolor{blue}{B^+?\ \sqrt{2}-2 \cos \alpha >0}\end{array}}[/math][br][br]Vedi che la prima disequazione è l'esempio dell'ultima animazione proposta, mentre sviluppando i calcoli della seconda si ottiene il penultimo esempio proposto. Ricopiamo quindi qui i risultati ottenuti.[br][br][math]\large{\begin{array}{ll}\textcolor{red}{A^+?\ -33,69°+k180° \le \alpha <90°+k180° }\\ \textcolor{blue}{B^+?\ 45°+k360°<\alpha <315° + k360°}\end{array}}[/math][br][color=#ff0000][br]3) A questo punto dovremmo costruire un grafico e combinare i segni.[/color][br]Si vede però dopo poco che non è impresa facile: la prima soluzione inizia con un valore negativo e si ferma a 90° (ma sappiamo che vi sono altri valori sul cerchio), mentre la seconda considera solo valori positivi (quindi non sappiamo come si comporta per angoli negativi) e per contro il suo segno varia sull'intero cerchio. [br][br][b]Per poter mettere le soluzioni su un unico grafico e combinarne i segni è necessario riportarle nello stesso intervallo, e con la stessa periodicità.[/b] In questo caso [color=#ff0000]adattiamo la soluzione di A riportandola nell'intervallo [0°-360°][/color]. Per farlo ci aiutiamo riproducendo il cerchio goniometrico che contiene le soluzioni di A.

La soluzione riportata nell'intervallo 0°-360° diventa quindi[br][br][math]\large{\textcolor{red}{A^+?\begin{array}{ll}0°\le x < 90°\quad \lor \quad 146,31°\le x < 270° \quad \lor \\ 326,31°\le x < 360° \end{array}}}[/math][br][br]Abbiamo trascurato la periodicità perché ci stiamo concentrando nell'intervallo 0°-360°. Ora possiamo riportare in un unico grafico il segno di A e quello di B, per ottenere il segno risultante della frazione, come mostrato nell'animazione qui sotto.

Ci accorgiamo che la soluzione rossa si è adattata non solo in termini dell'intervallo in cui era definita (originariamente la soluzione era presa tra -90° e +90°, e l'abbiamo spostata da 0° in avanti) ma anche in termini di periodicità (360° e non più 180°): dato che [color=#0000ff]il comportamento di B [b]ha bisogno di 360° per essere definito[/b] (è solo dopo un intero giro che vediamo l'intero alternarsi di segni [math]\large{+}[/math] e [math]\large{-}[/math] e che questo schema inizia a ripetersi uguale a se stesso)[/color], [color=#ff0000]dovremo riportare anche i segni di A per 360°, anche se sappiamo che da un certo punto in poi è la ripetizione dello stesso schema[/color]: solo in questo modo potremo vedere tutte le diverse combinazioni di segni di A e di B.[br][b][br]In generale avremo che se la periodicità dei due contributi è diversa, dovremo considerare un intervallo pari al minimo comune multiplo delle due periodicità, cioè al primo intervallo che contiene un numero intero di cicli per entrambi i contributi. La periodicità della soluzione sarà pari a questo periodo comune.[br][br][/b]Puoi trovare due esercizi svolti che chiariscono questo concetto al seguente indirizzo:[br][url=https://drive.google.com/open?id=0Bxf-VRarLuQqclVwVzRVeWxJalU]https://drive.google.com/open?id=0Bxf-VRarLuQqclVwVzRVeWxJalU[/url]