[br][br]Tarkastellaan kuvassa näkyvää tilannetta. Voimme hyvinkin kuvitella, että tämänkaltainen tilanne pitää osata mallintaa ja laskea insinöörimatematiikassa. Kyseessä voisi olla vaikkapa sadevesien ohjaaminen kaupungin viemäriverkostossa, jokin prosessineste kemianteollisuuden laitoksessa, tai moni muukin. Pitäydytään vedessä ja viemäreissä, niin voidaan puhua asiasta helpommilla termeillä.[br][br][kuva: putki][br][br]Putken halkaisija on 6 metriä. Putken pituus on 10 metriä. Tutkitaan seuraavia tapauksia:[br][br](a) Jos nesteen tasa (putken pohjasta mitattuna) 1.2 metrin tasolla, mikä on vesimäärän tilavuus?[br](a) Jos nesteen tasa (putken pohjasta mitattuna) "h" metrin tasolla, mikä on vesimäärän tilavuus?[br](c) Jos nestettä on 60 kuutiometriä, niin millä tasolla vedenpinta silloin on?[br](d) Jos nestettä on V kuutiometriä, niin millä tasolla vedenpinta silloin on?

RATKAISU:[br][br](a)

[br]Katso kuvaa yllä. Nyt siis tunnemme r:n lukuarvon (se on nyt 3 metriä). Tunnemme myös h:n, se on nyt 1.2 metriä. Kuvassa näkyy meille toistaiseksi tuntemattomia mittoja: pituudet x ja l, ja kulma alpha. Nämä mitat voimme laskea perusgeometrian keinoin, ja sen jälkeen saamme laskettua kuvassa sinivihreällä värjätyn segmentin pinta-alan. Tämä pinta-ala kertaa 10 metriä (putken pituus) on putkessa olevan veden tilavuus.[br][br]Lähdetään ratkaisemaan näitä toistaiseksi tuntemattomia mittoja niin, että saamme ne tietoomme sekä lukuina, että lausekkeina. [br][br]Selvästikin [math] \ell = r-h [/math][br][br][br]Nähdään kuvassa oikealla nähdään suorakulmainen kolmio. Tästä saadaan pythagoraan lauseella[br][br] [math] \ell^2 + x^2 = r^2 [/math][br][br] [math] (r-h)^2 + x^2 = r^2 [/math][br][br] [math] x^2 = r^2 - (r-h)^2 [/math][br][br] [math] x = \sqrt { r^2 - (r-h)^2 } [/math][br][br][br][br]Käytetään [math]\Large \alpha [/math]:n ratkaisuun samaa suorakulmaista kolmiota, jota käytimme äskenkin. Huomataan, että tässä kolmiossa yhtenä kulmana ei ole koko [math]\Large \alpha [/math], vaan sen puolikas. Viitaamme tähän [math]\Large \alpha [/math]:n puolikkaaseen kompaktisti vain [math]\Large \frac{\alpha}{2} [/math].[br][br][math][br] \cos(\frac{\alpha}{2}) = \frac{r-h}{r}[br][/math][br][br][math][br] \frac{\alpha}{2} = \arccos( \frac{r-h}{r} )[br][/math][br][br][math][br] \alpha = 2\arccos( \frac{r-h}{r} )[br][/math][br]

[br]Muistetaan, että segmenti pinta-ala saatiin laskettua niin, että ensin lasketaan sektorin pinta-ala, ja siitä vähennetään kolmion pinta-ala. Siis[br][br][math][br] A_{segmentti} = A_{sektori} - A_{kolmio}.[br][/math][br][br]Kirjoitetaan vielä erikseen sektorin ja kolmion pinta-alat.[br][br][math][br] A_{sektori} = \frac{\alpha}{360} \pi r^2 = \frac{1}{360} \cdot 2\arccos( \frac{r-h}{r} ) \cdot \pi r^2[br][/math][br][br][math][br] A_{kolmio} = \ell x = (r-h) x = (r-h) ( \sqrt { r^2 - (r-h)^2 })[br][/math][br][br]Nyt siis segmentin pinta-ala voidaan kirjoittaa[br][br][math][br] A_{segmentti} = A_{sektori} - A_{kolmio}[br][/math][br][br][math][br] A_{segmentti} = \frac{1}{360} \cdot 2\arccos( \frac{r-h}{r} ) \cdot \pi r^2 - (r-h) ( \sqrt { r^2 - (r-h)^2 })[br][/math][br][br]Muistetaan, että nesteen tilavuus oli tämä segmentin pinta-ala kertaa putken pituus (10 metriä), joten nesteen tilavuudeksi saadaan nyt[br][br][math][br] V = 10 \cdot \left[ \frac{1}{360} \cdot 2\arccos( \frac{r-h}{r} ) \cdot \pi r^2 - (r-h) ( \sqrt { r^2 - (r-h)^2 }) \right][br][/math][br][br]Sijoitetaan tähän tunnetut lukuarvot r = 3 ja h = 1.2, ja saadaan veden tilavudelle arvoksi 40.257 kuutiometriä.[br][br](b)[br][br]Nyt nestepinnan tasa, eli muuttuja h, ei saakaan kiinteää lukuarvoa, vaan meidän pitää vastata tämäntyyppiseen kysymykseen: "pue johonkin kätevään muotoon tieto siitä, että mikä on nesteen tilavuus jos nestepinnan tasa tunnetaan". Eli tänään nestepinnan tasa voi olla puoli metriä, huomenna metrin. Voidaanko matemaattisesti luoda joku kätevä "vastaaja", joka kertoo meille nesteen määrän nesteen pinnankorkeuden... FUNKTIONA. Eli toki voidaan, ja funktiohan tämä työkalu juuri on. Kyseinen funktio on meille jopa tässä vaiheessa tunnettu. Koska emme (a)-kohdassa menneet "siitä missä aita on matalin", eli sijoittaneet suoraan numeerisia arvoja, vaan johdimme koko lausekkeen symbolisesti, tämä funktio on meille nyt jo tiedossa. Eli, nesteen tilavuus pinnankorkeuden funktiona on[br][br][math][br] V(h) = 10 \cdot \left[ \frac{1}{360} \cdot 2\arccos( \frac{r-h}{r} ) \cdot \pi r^2 - (r-h) ( \sqrt { r^2 - (r-h)^2 }) \right][br][/math][br][br]Piirretään tämän funktion kuvaaja, ja pohditaan vielä sitä hieman.

Insinöörimatematiikassa esitetään usein juttuja taulukoina tai käyrinä. Eli niin, että joku suure tunnetaan, ja jotakin toista ei tunneta, ja sitten se tuntematon voidaan katsoa käyrästöstä tai taulukosta. Eli nyt voimme katsoa vaaka-akselilta nestepinnan korkeuden, ja pystyakselilla on kyseistä nestepinnan korkeutta vastaava tilavuus. Voimme kuvasta katsoa, että (a)-kohdan tilavuus pitää hyvinkin paikkansa.[br][br](c)[br][br]Kirjoitimme (b)-kohdassa tilavuuden pinnankorkeuden funktiona, siis [math] V = V(h) [/math]. Tämän lausekkeen muodostaminen oli melko suoraviivaista. Mutta katsopa (b)-kohdan vastauksena saatua lauseketta sillä silmällä, että haluaisimme kirjoittaa en toisinpäin, siis muotoon [math] h = h(V) [/math]. Tämä pulma on itse asiassa sen verran kimurantti, että sitä ei kannata paperimatematiikalla edes yrittää. Syy siihen on siinä, että toinen h on tuolla "lineaarisena terminä", siis muodossa "muuttuja kertaa tunnettu luku". Toinen h sen sijaan on arkuskosinin sisällä. Joutuisimme käyttämään tämän ratkaisuun kuitenkin tietokonetta, joten tässä kohtaa insinöörimatematiikan taitaja muuttaa hieman kysymystä. Eli, jos tiedämme nestemäärän olevan 60 kuutiometriä, mikä on nesteen pinnankorkeus? Ei ongelmaa, luetaan se tuolta käyrältä. Katsomme vastauksen käyrältä, ja saadaan vastaus: h = 1.59 metriä.[br][br](d)[br][br]Voimme käyttää samaa metodia kuin mitä käytimme (c)-kohdassa. Aiemmin oli puhetta, että insinöörimatematiikassa tämänkaltaisia tilanteita esitetään usein taulukoina tai graafeina, joten laitetaan vielä näkyville taulukko, josta tilavuuden ja nestepinnan vastaavuuksia voi tarkastella.