Strecken und Stauchen entlang der Y-Achse

[b][size=150]Auf Bekanntes zurückgreifen ... [/size][/b][br][br]Eine Streckung/ Stauchung entlang der Y-Achse bewirkt, dass die Kurve steiler oder flacher wird. [br]Das kennt ihr bereits von quadratischen Funktionen. [br]Wie war das nochmal?

Welche Funktionsgleichung gibt eine Streckung/ Stauchung der [b]Normalparabel ([/b][math]f\left(x\right)=x^2[/math][b])[/b] entlang der Y-Achse um den Parameter a an?

[math]g\left(x\right)=\left(x-a\right)^2[/math] [math]g\left(x\right)=x^2+a[/math] [math]g\left(x\right)=a\cdot x^2[/math] [math]g\left(x\right)=a\cdot\left(x-a\right)^2+a[/math]

Für [math]\mid a\mid>1[/math] wird die Parabel

gestreckt gespiegelt gestaucht

Für [math]\mid a\mid<1[/math] wird die Parabel

gespiegelt gestreckt gestaucht

Für [math]a<0[/math] wird die Parabel

gestreckt gestaucht gespiegelt

Zeit für eine Vermutung:

Vermute, wie die Funktionsgleichung einer entlang der Y-Achse um a gestreckten/gestauchten Exponentialfunktion [math]f\left(x\right)=b^x[/math] aussieht. Gib deine Vermutung hier an:

Aufgabe 1

Stelle den Schieberegler auf [math]a=1[/math]. Du siehst eine Exponentialfunktion, die nicht gestreckt oder gestaucht ist. Wie lautet die Funktionsgleichung dieser Funktion?[br][br]Tipp: sie hat die Form: [math]f\left(x\right)=b^x[/math]

Kreuze an:

[math]f\left(x\right)=3x^2[/math] [math]f\left(x\right)=7\cdot4^x[/math] [math]f\left(x\right)=0,5^x[/math] [math]f\left(x\right)=1,5^x[/math]

Aufgabe 2

[b]Schiebe[/b] nun den Schieberegler auf [math]a=2[/math] ([math]a=3[/math], [math]a=0,5[/math]). Fülle auf deinem Arbeitsblatt die Tabelle aus, indem du die Punkte in der Abbildung abliest. [br]Hilfe: Du kannst dir auch die Koordinaten von Hilfspunkten anzeigen lassen.[br][br][b]Stelle[/b] jeweils eine Funktionsgleichung zur Wertetabelle auf. Du kannst dabei auf dein Wissen von expliziten Wachstumsformeln zurückgreifen. [b]Notiere[/b] dazu den [i]Startwert[/i] und den [i]Wachstumsfaktor[/i]. [br][br]Deine Funktionsgleichung kannst du am Kontrollkästchen überprüfen.

Aufgabe 3

Die Funktionsgleichung einer um a entlang der Y-Achse gestreckten/gestauchten Funktion hat die Form [math]f\left(x\right)=a\cdot b^x[/math]. Hattest du das vorhin schon vermutet?[b][br][/b][b][br]Verändere[/b] den Schieberegler. [b]Beschreibe[/b] die Veränderungen deinem/r Partner:in. [br][color=#1e84cc]Verwende dabei folgende Begriffe: [br]gestreckt (steiler)/gestaucht (flacher), Schnittpunkt mit der Y-Achse, annähern, X-Achse, gespiegelt[/color][br]

Aufgabe 4

Jetzt sollen die Erkenntnisse über gestreckte und gestauchte Exponentialfunktionen verallgemeinert werden. [b]Beantworte[/b] dazu folgende Fragen. [b]Notiere[/b] deine Erkenntnisse auch auf dem Arbeitsblatt.

Ein Faktor [math]a[/math] mit [math]\left|a\right|>1[/math] ... den Graphen der Exponentialfunktion.

Ein Faktor [math]a[/math] mit [math]\left|a\right|<1[/math] ... den Graphen einer Exponentialfunktion.

Falls [math]a>0[/math] so liegt der Graph

unterhalb der X-Achse überhalb der X-Achse gestreckt

Spiegelt man den Graphen der Funktion [math]f\left(x\right)=2\cdot1,5^x[/math] an der X-Achse, so entsteht der Graph der Funktion g mit

[math]g\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot1,5^x[/math] [math]g\left(x\right)=1,5^{-2x}[/math] [math]g\left(x\right)=-2\cdot1,5^x[/math]

Welche Gemeinsamkeiten haben alle gestreckten/gestauchten Exponentialfunktionen der Form [math]f\left(x\right)=a\cdot b^x[/math]?

Sie schneiden alle die Y-Achse im Punkt [math]S_y\left(0\mid1\right)[/math]. Sie fallen alle. Sie nähern sich alle der Y-Achse an. Sie schneiden alle die Y-Achse im Punkt [math]S_y\left(0\mid a\right)[/math]. Sie steigen alle. Sie nähern sich alle der X-Achse an.