Potenzfunktionen und ganzrationale Funktionen
Potenzfunktionen und ganzrationale Funktionen und ihre Eigenschaften
Table of Contents
- Potenzfunktionen
- Potenzfunktionen - Definition und Symmetrie
- Verschiebung von Potenzfunktionen
- Potenzfunktionen - Aufgaben
- Ganzrationale Funktionen
- Ganzrationale Funktionen - Definition
- Ganzrationale Funktion 5. Grades
- Symmetrie von ganzrationalen Funktionen
- Nullstellen (1): Linearfaktorzerlegung
- Nullstellen (2): Faktorisieren
- Nullstellen (3): Substitution
Potenzfunktionen - Definition und Symmetrie
[u]Definition:[/u] Funktionen der Form [math]f\left(x\right)=x^n[/math] mit [math]n\in\mathbb{N}\backslash\left\{0\right\}[/math] heißen [b]Potenzfunktionen[/b] vom [b]Grad n[/b].[br]Der Graph für n>1 heißt [b]Parabel n-ten Grades.[br][/b][br]Das folgende Applet zeigt den Verlauf einer Potenzfunktion. Man unterscheidet zwischen [b]geraden[/b] und [b]ungeraden[/b] Potenzfunktionen, da die Graphen unterschiedliche [b]Symmetrieeigenschaften[/b] besitzen.
Bewege den Schieberegler, um den Exponenten zu verändern. Beobachte den Graphen.
[b][u]Symmetrie von Potenzfunktionen:[br][/u][/b][br]Für [b]n gerade[/b] ergeben sich Graphen, die symmetrisch zur y-Achse verlaufen ([b]y-Achsensymmetrie).[br][/b]Es gilt: [math]f\left(x\right)=f\left(-x\right)[/math]für alle [math]x\in D[/math].[br][br]Für [b]n ungerade[/b] ergeben sich Graphen, die symmetrisch zum Koordinatenursprung verlaufen ([b]Nullpunktsymmetrie)[/b]. [br]Es gilt: [math]f\left(x\right)=-f\left(-x\right)[/math] bzw. [math]f\left(-x\right)=-f\left(x\right)[/math] für alle [math]x\in D[/math].
Graphen für gerade n
Graphen für ungerade n
Ganzrationale Funktionen - Definition
Defintion:
Als [b]ganzrationale Funktion[/b] oder [b]Polynomfunktion[/b] [b]vom Grad n [/b]bezeichnet man eine Funktion der Form[br][br][math]f\left(x\right)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+a_{n-2}\cdot x^{n-2}+....+a_2\cdot x^2+a_1\cdot x+a_0[/math][br][br]Polynomfunktionen werden also dadurch gebildet, dass mehrere Potenzfunktionen verschiedenen Grades addiert werden. Dabei werden sie in der Regel nach Potenzen absteigend sortiert.[br][br]Man bezeichnet die Vorfaktoren [math]a_n,a_{n-1},....,a_1,a_0[/math] als [b]Koeffizienten.[/b]
Beispiel:
[math]f\left(x\right)=3x^5-4x^4+0,5x^2-x+1,5[/math] ist eine ganzrationale Funktion vom Grad 5.[br][br]Die Koeffizienten lautet [math]a_5=3,a_4=-4,a_3=0,a_2=0,5,a_1=1,a_0=1,5[/math].
Graphen zu ganzrationalen Funktionen
Der Verlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktion lässt sich aufgrund der Koeffizienten und auftretenden Potenzen nur schwer vorhersagen.[br]Es lassen sich eigentlich nur zwei Aussagen treffen:[br][br][list=1][*]Die höchste Potenzfunktion dominiert den Graphen "weit außen", d.h. für[math]x\longrightarrow\pm\infty[/math]. Mit anderen Worten: Für große bzw. kleine x verhält sich der Graph wie [math]y=a_n\cdot x^n[/math].[/*][*]Die niedrigste Potenzfunktion dominiert den Graphen "nahe bei Null", d.h. der Graph verläuft so, wie für [math]y=a_k\cdot x^k+a_0[/math], wobei k die kleinste auftretende Potenz ist.[br][/*][/list]Als Beispiel schauen wir uns der Verlauf des Graphen zu den oben angebenenen Funktion an.[br][br]"Außen" verläuft der Graphen ähnlich zu [math]3x^5[/math], im Bereich der y-Achse ("nahe Null") dominiert die kleinste Potenz, also hier k=1. Der Graph verläuft wie die Gerade [math]y=-x+1,5[/math].
Durch Anwählen der Kreise lassen sich die Graphen zu g und h einblenden.
Beispiel 2:
Man betrachte den Graphen zu[br][math]f\left(x\right)=-x^8+8x^5+x^3-x^2+2[/math][br][br]"Außen" dominiert der Graph zu [math]-x^8[/math], im Bereich der y-Achse verläuft der Graph wie eine nach unten geöffnete, gestreckte Parabel, die um 2 Einheiten nach oben verschoben ist: [math]-5x^2+2[/math]