0

KöMaL problémák és feladatok

Tarcsay Tamás, Oct 9, 2022

KöMaL feladatokhoz kapcsolódó GeoGebrás anyagok

Algebra
1. KöMaL C.1728.
2. KöMaL B.4724.
3. KöMaL K. 734.
4. KöMaL. K. 736.
5. KöMaL C. 1735.
6. C.1791.
7. C. 1795.
8. C. 1797. Logaritmus - geometria
9. B. 5375. Diophantoszi egyenlet
10. C. 1805. Kétismeretlenes egyenlet
Analízis
1. Azonos alapú logaritmus és exponenciális ... (15.)
2. Rekurziók vizsgálatához
3. K/C. 788.
Elemi (szintetikus) geometria
1. KöMaL - B. 5155. feladata
2. Sz03 Adott két egyenes, ...
3. KöMaL B.5255
4. KöMaL C.1731.
5. KöMaL C. 1729.
6. KöMaL B. 5263.
7. KöMaL C. 1734.
8. KöMaL C. 1736.
9. KöMaL B. 5265.
10. KöMaL B. 5267.
11. C.1792.
12. B. 5362.
13. B. 5363.
14. B. 5363. általánosítás
15. C. 1796. Egy oktaéderes probléma
16. C. 1802. Az ABCDEF szabályos hatszögben ...
17. Egy KöMaL probléma
18. C. 1799.
19. B. 5379. Ceva-tételes probléma
20. C. 1807. Párhuzamos?
21. B. 5374. Négyzet, rombusz
Geometriai inverzió
1. P08 KöMaL 1971. január
Koordinátageometria (analitikus geometria)
Számelmélet
1. Catalan-számok (1.)
2. KöMaL B.5254
3. C. 1723.
4. C. 1725.
5. KöMaL K/C. 737.
6. KöMaL C. 1733.
7. B. 5343.
8. B. 5342.
9. K.791.
Trigonometria
1. Vendel koronája

Information

Algebra

KöMaL C.1728.

A probléma:

Határozzuk meg a −

x+

={x} egyenlet megoldásainak pontos értékét!

Analízis

1. Azonos alapú logaritmus és exponenciális ... (15.)
2. Rekurziók vizsgálatához
3. K/C. 788.

Azonos alapú logaritmus és exponenciális ... (15.)

A közoktatás matematika anyagában szerepel az exponenciális és logaritmus függvény fogalma. Azt is megtanuljuk, hogy az azonos alapú exponenciális függvények és logaritmus függvények egymás inverzei.

KöMaL F. 2917.

Mekkora az

és az

függvények grafikonjainak távolsága, ha

? Vizsgálódjunk a GeoGebrával!

Az látszik, hogy van olyan alap, amelynél a két grafikon metszi egymást. Ekkor a távolságuk 0. A kérdés adódik: Milyen a-ra van a két függvény grafikonjának közös pontja? Először vizsgáljuk a

függvényt! Milyen a-ra van a függvénynek zérushelye?

Az analízis eszközeivel meg lehet mutatni, hogy ha 1< a <

, akkor a h függvénynek van zérushelye. Ekkor az f függvény grafikonja metszi az y = x egyenest. Az inverz függvények grafikonjai egymás tükörképei az említett egyenesre vonatkozóan, így az f és g függvények grafikonjai is metszik egymást, így a távolságuk 0.

A fent említett analízis eszközök

Ha nincs metszéspont

A keresett távolságot megkaphatjuk úgy, hogy megkeressük pl. az f függvény grafikonján azt a pontot, melyben az érintő pérhuzamos az y = x egyenletű egyenessel. A keresett távolság e pont és az x = y egyenes távolságának a kétszerese. Az analízis eszközeivel kaphatjuk, hogy a keresett pont a

, és a távolság

. A számolás a GeoGebrával:

És ha az alap kisebb, mint 1?

Az f szigorúan monoton csökkenő, folytonos függvény. Az

függvény szigorúan monoton növekvő és folytonos. A fentiekből következik, hogy az f függvény grafikonja y = x egyenes metszi egymást a

intervallumon. Az inverz tulajdonság miatt ez a metszéspont illeszkedik a g grafikonjára is. Ez azt jelenti, hogy a két függvény grafikonjának legalább egy metszéspontja van. Az a kérdés követhet ezután, hogy lehet-e több metszéspont? Ha az előző appletben kis a értékek esetén vizsgálódunk akkor gyanú ébredhet bennünk.

Itt jobban látható {f(x)/g(x)-1}

Az f és g grafikonjainak első koordinátai az

függvény zérushelyei. Mint látható, e zérushelyek száma lehet 3 is és 1 is. Most már az a kérdés, hogy milyen alap esetén hány zérushely van. A problémát Dr. Németh József és Dr. Szilassi Lajos tanár urak is megoldották.

Dr. Németh József tanár úr bizonyítása

Dr. Szilassi Lajos tanár úr megoldása

A forrás:

2.2.

2.3.

3.

Elemi (szintetikus) geometria

1. KöMaL - B. 5155. feladata
2. Sz03 Adott két egyenes, ...
3. KöMaL B.5255
4. KöMaL C.1731.
5. KöMaL C. 1729.
6. KöMaL B. 5263.
7. KöMaL C. 1734.
8. KöMaL C. 1736.
9. KöMaL B. 5265.
10. KöMaL B. 5267.
11. C.1792.
12. B. 5362.
13. B. 5363.
14. B. 5363. általánosítás
15. C. 1796. Egy oktaéderes probléma
16. C. 1802. Az ABCDEF szabályos hatszögben ...
17. Egy KöMaL probléma
18. C. 1799.
19. B. 5379. Ceva-tételes probléma
20. C. 1807. Párhuzamos?
21. B. 5374. Négyzet, rombusz

3.1.

KöMaL - B. 5155. feladata

https://www.komal.hu/feladat?a=feladat&f=B5155&l=hu

Keressünk sejtést!

A fenti GeoGebra fájlban az Y pont mozgatható. A bal alsó sarokban látható, kis körben levő háromszögre kattintva egy animáció indítható el. Észrevehetjük, hogy ha D=Y, akkor az MXY háromszög köré írt köre egybeesik az MAD háromszög köré írt körrel, ha pedig C=Y, akkor az MBC háromszög köré írt körrel. Ez utóbbi két kör a "Katt" feliratú jelölőnégyzetre kattintva megjeleníthető. Ez alapján megfogalmazható az a sejtés, hogy az MXY háromszög köré írt köre mindig illeszkedik az MAD és MCD háromszögek köré írt köreinek második metszéspontjára, amit P-vel jelölünk.

Egy lehetséges út egy lehetséges bizonyításhoz:

Dr. Szilassi Lajos tanár úr készített egy anyagot: "A forgatva nyújtás és alkalmazásai". Ez önmagában is tanulságos olvasmány, de a mi szempontunkból is érdekes lehet. Keressük a választ ebben az írásban a következő kérdésre! Milyen fontos tulajdonsága van a P pontnak? A P azon forgatva nyújtás centruma, ami A-nak D-t és B-nek C-t felelteti meg. A fenti anyagban ismerkedjünk meg a forgatva nyújtás legfontosabb tulajdonságaival! Mi a válasz a következő kérdésre: Az X és Y pontok milyen kapcsolatban állnak? Abból, hogy a forgatva nyújtás aránytartó transzformáció, következik, hogy a fent említett, P centrumú forgatva nyújtás az X pontnak Y-t felelteti meg. Mit jelent ez az MXY háromszögek köré írt köreire vonatkozóan? Azt jelenti, hogy bármely MXY háromszög köré írt körére illeszkedik P. Az állítást bebizonyítottuk.

3.2.

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

3.7.

3.8.

3.9.

3.10.

3.11.

3.12.

3.13.

3.14.

3.15.

3.16.

3.17.

3.18.

3.19.

3.20.

3.21.

4.

Geometriai inverzió

1. P08 KöMaL 1971. január

4.1.

P08 KöMaL 1971. január

Legyen egy inverzió pólusa O, két O-tól különböző pont, S, Q, képeik S' és Q'. Igazoljuk, hogy

.

Megoldás

5.

Koordinátageometria (analitikus geometria)

This chapter does not contain any resources yet.

6.

Számelmélet

6.1.

Catalan-számok (1.)

KöMaL Gy. 2947. alapján

http://db.komal.hu/KomalHU/felhivatkoz.phtml?id=41664 Egy félsík határoló egyenesén adott 2n darab pont. Hányféleképpen lehet a pontokat párba állítani úgy, hogy az egymással párba állított pontok összeköthetők legyenek a félsík belsejében haladó, egymást nem metsző vonalakkal? Jelöljük a keresett számot C_n-nel! 2 pontot egyféleképpen lehet párba állítani és összekötni, így C₁=1.

n = 2

C₂=2

n=4

Rekurzió:

Ha megállapodunk abban, hogy

, akkor a következő rekurzió sejthető meg:

Az igazolás történhet úgy, hogy a jó párosításokat aszerint csoportosítjuk, hogy a az 1. pontot melyik ponttal kötjük össze. Nyilvánvaló, hogy az 1. pontot olyan pontokkal köthetjük össze, hogy a összekötésen belül páros sok pont maradjon. Ebből következően az 1. pontot a 4,, 6., ..., 2n. pontokkal köthetjük össze. az összekötéseken belül a korábbi számú összekötések lehetségesek.

Catalan-számok

A

sorozat tagjait Catalan-számoknak nevezzük. Az első néhány Catalan-szám itt található.

2. probléma

Hányféleképpen juthatunk el a Descartes-féle koordinátarendszer origójából az

pontba, úgy, hogy minden lépésben egyet "jobbra" vagy egyet "felfelé" léphetünk úgy, hogy nem léphetünk olyan pontba, aminek első koordinátája nagyobb, mint a második koordinátája?

.

Lépegessünk!

Jő lépés sorrendek

n = 1

1 db n = 2

2 db n = 3

5 db

A lépegetéseknél és a speciális esetekben vizsgált jó sorrendeknél tapasztaltak alapján gondolható, hogy a két probléma között kapcsolatot lehet felfedezni. A Gy.2947. minden jó párba állításához kölcsönösen egyértelműen hozzárendelhető egy jó lépés sorrend a 2. problémából és viszont. Az összekötések kezdőpontjához rendeljük a "felfelé" lépést a végpontjához pedig a "jobbra" lépést. Ennek következtében e probléma megoldásai is a Catalan-számok.

3. probléma

A Gy. 2947. feladatban szereplő 2n pont közül n-et pirosra festjük. Hányféleképpen tehetjük meg ezt? Az ismétlés nélküli kombinációról tanultak szerint a kifestések száma:

Vizsgáljuk az F és C sorozatok első néhány tagját!

Észre lehet venni valamilyen kapcsolatot a két sorozat tagjai között?

Sejtés

A fentiekben látott rekurzióval és teljes indukcióval a sejtés igazolható?

Hanyag pénztáros

Egy moziban a jegyek egységesen 1000 forintba kerülnek. A lusta/hanyag pénztáros nem törődik azzal, hogy felkészüljön a munkájára, így váltópénz nélkül kezdi a napot. Nyitáskor 2n ember áll sorban a pénztár előtt, n-nél egy darab kétezres, n-nélegy darab ezres van. Hányféleképpen állhatnak sorba úgy, hogy mindenki tud jegyet venni? Ha az ezreseknek megfeleltetjük a 2. probléma "felfelé" lépéseit, a kétezreseknek megfeleltetjük a "jobbra" lépéseket, akkor láthatjuk, hogy ennek a problámának is a megoldási a Catalan-számok.

További problémák

6.2.

6.3.

6.4.

6.5.

6.6.

6.7.

6.8.

6.9.

7.

Trigonometria

1. Vendel koronája

7.1.

Vendel koronája

Dr. Szilassi Lajos tanár úr egy régi évfolyamtársa, Kardos Lajos hívta fel a figyelmünket egy érdekes cikkre, ami 2014. 02. 26-án jelent meg a BME Haladvány Kiadványában, és amelynek szerzője Hujter Mihály. A cikk címe: Talpalattnyi arányosság. Az írás szerzője egy 1936. márciusában megjelent KöMaL feladat kapcsán emlékezik meg egy kiváló szerzetes tanár, Endrédy Vendel (sz. Hadarits Kálmán) munkásságáról, annak neves tanítványairól. A cikket nyomatékosan ajánlhatjuk elolvasásra. A probléma ami a cikkben megjelenik így fogalmazható meg: Adjuk meg egy hegyesszögű háromszögben a talpponti háromszög és a hegyesszögű háromszög területének arányát a háromszög két szögének felhasználásával! Hujter Mihály közöl egy megoldást, miszerint e keresett arány:

Ezt az arányt nevezte a szerző Vendel koronájának. Dr. Szilassi Lajos tanár úr is adott egy megoldást, ezt mutatja a következő GeoGebra fájl.

Nem túl didaktikus módszer az, hogy egy egyszerűbb megoldás után egy bonyolultabbat mutatunk. Most mégis ezt tesszük, hogy miért, az talán az olvasó számára ki fog derülni.

A számolás végigkövethető ebben a GeoGebra CAS fájlban:

Látható, hogy a három bizonyítás három "különböző" trigonometrikus kifejezést adott eredményül. Ha mindegyik jó, akkor ezeknek egyenlőknek kell lenniük. Nézzük meg, hogy mit mond erről a GeoGebra CAS!

Úgy tűnik, hogy a három kapott kifejezés egyenlő. A pontos igazolás "lélekemelő" trigonometriai gondolatmeneteket igényel, ezeknek megalkotását az olvasóra bízzuk. Ezek után felmerülhet az a kérdés, hogy a Vendel koronája arány hogyan változik az

és

szögek függvényében. Az ezt leíró kétváltozós függvény grafikonja az alábbi képen látható.

Ennek a kétváltozós függvénynek a szélsőértékét az alábbi GeoGebra CAS fájl adja meg.

Kaptuk, hogy a területarány szabályos háromszög esetében maximális, az értéke ez esetben

.

0