KöMaL problémák és feladatok
KöMaL feladatokhoz kapcsolódó GeoGebrás anyagok
Table of Contents
- Algebra
- KöMaL C.1728.
- KöMaL B.4724.
- KöMaL K. 734.
- KöMaL. K. 736.
- KöMaL C. 1735.
- C.1791.
- C. 1795.
- C. 1797. Logaritmus - geometria
- B. 5375. Diophantoszi egyenlet
- C. 1805. Kétismeretlenes egyenlet
- Analízis
- Azonos alapú logaritmus és exponenciális ... (15.)
- Rekurziók vizsgálatához
- K/C. 788.
- Elemi (szintetikus) geometria
- KöMaL - B. 5155. feladata
- Sz03 Adott két egyenes, ...
- KöMaL B.5255
- KöMaL C.1731.
- KöMaL C. 1729.
- KöMaL B. 5263.
- KöMaL C. 1734.
- KöMaL C. 1736.
- KöMaL B. 5265.
- KöMaL B. 5267.
- C.1792.
- B. 5362.
- B. 5363.
- B. 5363. általánosítás
- C. 1796. Egy oktaéderes probléma
- C. 1802. Az ABCDEF szabályos hatszögben ...
- Egy KöMaL probléma
- C. 1799.
- B. 5379. Ceva-tételes probléma
- C. 1807. Párhuzamos?
- B. 5374. Négyzet, rombusz
- Geometriai inverzió
- P08 KöMaL 1971. január
- Koordinátageometria (analitikus geometria)
- Számelmélet
- Catalan-számok (1.)
- KöMaL B.5254
- C. 1723.
- C. 1725.
- KöMaL K/C. 737.
- KöMaL C. 1733.
- B. 5343.
- B. 5342.
- K.791.
- Trigonometria
- Vendel koronája
KöMaL C.1728.
A probléma:
Határozzuk meg a [br]−[math]\frac{1}{6}[/math]x+[math]\frac{1}{2}[/math]={x}[br]egyenlet megoldásainak pontos értékét!
Azonos alapú logaritmus és exponenciális ... (15.)
[size=85]A közoktatás matematika anyagában szerepel az [url=https://www.geogebra.org/m/sQmkjXz5]exponenciális[/url] és [url=https://www.geogebra.org/m/rrxtxwcy]logaritmus[/url] függvény fogalma. Azt is megtanuljuk, hogy az azonos alapú exponenciális függvények és logaritmus függvények egymás[url=https://www.geogebra.org/m/n5SfnStx] inverz[/url]ei.[/size]
KöMaL F. 2917.
[size=85]Mekkora az [math]x\mapsto a^x[/math][/size] [size=85]és az [math]x\mapsto log_ax[/math] függvények grafikonjainak távolsága, ha [math]a>1[/math][/size][size=85]?[br]Vizsgálódjunk a GeoGebrával![/size]
[size=85]Az látszik, hogy van olyan alap, amelynél a két grafikon metszi egymást. Ekkor a távolságuk 0. [br][/size][size=85]A kérdés adódik:[br][/size][size=85]Milyen [i]a[/i]-ra van a két függvény grafikonjának közös pontja?[br][br][/size][size=85]Először vizsgáljuk a [math]h\left\langle x\right\rangle=a^x-x[/math][/size] [size=85]függvényt! Milyen [i]a-[/i]ra van a függvénynek zérushelye?[/size]
[size=85]Az analízis eszközeivel meg lehet mutatni, hogy ha 1< [i]a [/i]<[math]e^{e^{-1}}\approx1,44466[/math] [/size], [size=85]akkor a [i]h[/i] függvénynek van zérushelye. Ekkor az [i]f[/i] függvény grafikonja metszi az [i]y[/i] = [i]x[/i] egyenest. Az inverz függvények grafikonjai egymás tükörképei az említett egyenesre vonatkozóan, így az [i]f[/i] és [i]g[/i] függvények grafikonjai is metszik egymást, így a távolságuk 0.[/size]
A fent említett analízis eszközök
Ha nincs metszéspont
[size=85]A keresett távolságot megkaphatjuk úgy, hogy megkeressük pl. az [i]f[/i] függvény grafikonján azt a pontot, melyben az érintő pérhuzamos az [i]y [/i]= [i]x [/i]egyenletű egyenessel. A keresett távolság e pont és az [i]x[/i] = [i]y [/i]egyenes távolságának a kétszerese.[br][/size][size=85]Az analízis eszközeivel kaphatjuk, hogy a keresett pont a [math]\left\langle-\frac{ln\left\langle lna\right\rangle}{lna};\frac{1}{lna}\right\rangle[/math][/size][size=85], és a távolság [math]\sqrt{2}\left\langle\frac{ln\left\langle lna\right\rangle}{lna}+\frac{1}{lna}\right\rangle[/math][/size].[br][size=85]A számolás a GeoGebrával:[/size]
És ha az alap kisebb, mint 1?
[math]f\left\langle0\right\rangle=1>0[/math][br][math]f\left\langle1\right\rangle=a<1[/math][br][size=85]Az [i]f [/i] szigorúan monoton csökkenő, folytonos függvény.[br]Az [math]x\mapsto x[/math] függvény szigorúan monoton növekvő és folytonos.[br][/size][size=85]A [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Bolzano%E2%80%93Darboux-t%C3%A9tel]fentiekből következik[/url], hogy az [i]f[/i] függvény grafikonja [i]y = x [/i]egyenes metszi egymást a [math]\lceil0;1\rceil[/math] intervallumon.[br][/size][size=85]Az inverz tulajdonság miatt ez a metszéspont illeszkedik a [i]g[/i] grafikonjára is. Ez azt jelenti, hogy a két függvény grafikonjának legalább egy metszéspontja van. Az a kérdés követhet ezután, hogy lehet-e több metszéspont?[br][/size][size=85]Ha az előző appletben kis [i]a[/i] értékek esetén vizsgálódunk akkor gyanú ébredhet bennünk.[/size]
Itt jobban látható {f(x)/g(x)-1}
[size=85]Az [i]f[/i] és [i]g [/i]grafikonjainak első koordinátai az [math]\frac{f\left\langle x\right\rangle}{g\left\langle x\right\rangle}-1[/math] függvény zérushelyei. Mint látható, e zérushelyek száma lehet 3 is és 1 is. Most már az a kérdés, hogy milyen alap esetén hány zérushely van. A problémát [url=http://www.math.u-szeged.hu/mathweb/index.php/hu/munkatarsaink?id=18&bolyaiid=48]Dr. Németh József[/url] és Dr. Szilassi Lajos tanár urak is megoldották.[/size]
Dr. Németh József tanár úr bizonyítása
Dr. Szilassi Lajos tanár úr megoldása
A forrás:
KöMaL - B. 5155. feladata
https://www.komal.hu/feladat?a=feladat&f=B5155&l=hu
Keressünk sejtést!
[size=85][code][/code]A fenti GeoGebra fájlban az [i]Y [/i]pont mozgatható. A bal alsó sarokban látható, kis körben levő háromszögre kattintva egy animáció indítható el.[br]Észrevehetjük, hogy ha [i]D=Y, [/i]akkor az [i]MXY[/i] háromszög köré írt köre egybeesik az [i]MAD[/i] háromszög köré írt körrel, ha pedig [i]C=Y[/i], akkor az [i]MBC[/i] háromszög köré írt körrel. [br]Ez utóbbi két kör a "Katt" feliratú jelölőnégyzetre kattintva megjeleníthető.[br]Ez alapján megfogalmazható az a sejtés, hogy az [i]MXY[/i] háromszög köré írt köre mindig illeszkedik az [i]MAD [/i]és [i]MCD [/i]háromszögek köré írt köreinek második metszéspontjára, amit [i]P[/i]-vel jelölünk.[/size]
Egy lehetséges út egy lehetséges bizonyításhoz:
[size=85][url=https://www.geogebra.org/u/szilassi]Dr. Szilassi Lajos tanár úr[/url] készített egy anyagot: [url=https://www.geogebra.org/m/pX7a97q5#material/JhDr1zb2]"A forgatva nyújtás és alkalmazásai"[/url]. Ez önmagában is tanulságos olvasmány, de a mi szempontunkból is érdekes lehet. [br][br]Keressük a választ ebben az írásban a következő kérdésre![br][b]Milyen fontos tulajdonsága van a [i]P[/i] pontnak?[/b][br]A [i]P [/i]azon [url=https://core.ac.uk/download/pdf/160833744.pdf]forgatva nyújtás[/url] centruma, ami [i]A[/i]-nak [i]D-[/i]t és [i]B-[/i]nek [i]C[/i]-t felelteti meg. [br][br]A [url=https://www.geogebra.org/m/pX7a97q5#material/JhDr1zb2]fenti anyag[/url]ban ismerkedjünk meg a forgatva nyújtás legfontosabb tulajdonságaival! Mi a válasz a következő kérdésre:[br][b]Az [i]X[/i] és [i]Y[/i] pontok milyen kapcsolatban állnak?[/b][br]Abból, hogy a [url=https://matkonyv.fazekas.hu/chapter.php?mode=sne---j-&volume=g_ii&code=G.II&chapter=chs_g_ii/g_ii_hastraf&chapternum=12&topic=Geometria&yearpair=9--10]forgatva nyújtás [/url][url=https://users.itk.ppke.hu/itk_dekani/files/matematika/pdfs/11.pdf]aránytartó transzformáció[/url], következik, hogy a fent említett, [i]P[/i] centrumú forgatva nyújtás az [i]X[/i] pontnak [i]Y[/i]-t felelteti meg. [br][br][b]Mit jelent ez az [i]MXY[/i] háromszögek köré írt köreire vonatkozóan?[/b][br]Azt jelenti, hogy bármely [i]MXY[/i] háromszög köré írt körére illeszkedik [i]P[/i]. [br][br]Az állítást bebizonyítottuk.[/size]
P08 KöMaL 1971. január
[size=85]Legyen egy inverzió pólusa [i]O[/i], két [i]O[/i]-tól különböző pont, [i]S[/i], [i]Q[/i], képeik [i]S' [/i]és Q'[i]. [/i]Igazoljuk, hogy[br][/size][math]\frac{Q'S'}{QS}=\frac{OS'}{OQ}=\frac{OQ'}{OS}[/math].
Megoldás
Catalan-számok (1.)
KöMaL Gy. 2947. alapján
[size=85][url=http://db.komal.hu/KomalHU/felhivatkoz.phtml?id=41664]http://db.komal.hu/KomalHU/felhivatkoz.phtml?id=41664[/url][br]Egy félsík határoló egyenesén adott 2[i]n[/i] darab pont. Hányféleképpen lehet a pontokat párba állítani úgy, hogy az egymással párba állított pontok összeköthetők legyenek a félsík belsejében haladó, egymást nem metsző vonalakkal?[br][/size][size=85]Jelöljük a keresett számot [i]C[sub]n[/sub][/i]-nel![br][/size][size=85]2 pontot egyféleképpen lehet párba állítani és összekötni, így [i]C[sub]1[/sub][/i]=1.[/size]
n = 2
[size=85][i]C[sub]2[/sub][/i]=2[/size]
[math]C_3=C_2+C_1\cdot C_1+C_2=2+1\cdot1+2=5[/math]
n=4
[math]C_4=C_3+C_1\cdot C_2+C_2\cdot C_1+C_3=5+1\cdot2+2\cdot1+5=14[/math]
Rekurzió:
[size=85]Ha megállapodunk abban, hogy [math]C_0=1[/math][/size], [size=85]akkor a következő rekurzió sejthető meg:[br][/size][math]C_{n+1}=C_0\cdot C_n+C_1\cdot C_{n-1}+C_2\cdot C_{n.-2}+...+C_{n-1}\cdot C_1+C_n\cdot C_0[/math][br][size=85]Az igazolás történhet úgy, hogy a jó párosításokat aszerint csoportosítjuk, hogy a az 1. pontot melyik ponttal kötjük össze. Nyilvánvaló, hogy az 1. pontot olyan pontokkal köthetjük össze, hogy a összekötésen belül páros sok pont maradjon. Ebből következően az 1. pontot a 4,, 6., ..., 2[i]n. [/i]pontokkal köthetjük össze. az összekötéseken belül a korábbi számú összekötések lehetségesek.[/size]
Catalan-számok
A [math]C_n[/math] [size=85]sorozat tagjait [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Eug%C3%A8ne_Charles_Catalan]Catalan[/url]-számoknak nevezzük. Az első néhány Catalan-szám [url=https://oeis.org/A000108]itt található[/url].[/size]
2. probléma
[size=85][url=https://www.komal.hu/feladat?a=feladat&f=B4928&l=hu]Hányféleképpen juthatunk [/url]el a Descartes-féle koordinátarendszer origójából az [math]\left\langle n;n\right\rangle[/math][/size] [size=85]pontba, úgy, hogy minden lépésben egyet "jobbra" vagy egyet "felfelé" léphetünk úgy, hogy nem léphetünk olyan pontba, aminek első koordinátája nagyobb, mint a második koordinátája? [math]n\in\mathbb{Z}^+[/math][/size].
Lépegessünk!
Jő lépés sorrendek
[size=85][i]n[/i] = 1 [math]\wedge\longrightarrow[/math][/size] [b][size=85]1 db[/size][br][/b][size=85][i]n [/i]= 2 [math]\wedge\wedge\longrightarrow\longrightarrow[/math][/size] [math]\wedge\longrightarrow\wedge\longrightarrow[/math] [b][size=85]2 db[br][/size][/b][size=85][i]n [/i]= 3 [math]\wedge\wedge\wedge\longrightarrow\longrightarrow\longrightarrow[/math][/size] [math]\wedge\wedge\longrightarrow\wedge\longrightarrow\longrightarrow[/math] [math]\wedge\wedge\longrightarrow\longrightarrow\wedge\longrightarrow[/math] [math]\wedge\longrightarrow\wedge\wedge\longrightarrow\longrightarrow[/math] [math]\wedge\longrightarrow\wedge\longrightarrow\wedge\longrightarrow[/math] [size=85][b]5 db[/b][/size]
[size=85]A lépegetéseknél és a speciális esetekben vizsgált jó sorrendeknél tapasztaltak alapján gondolható, hogy a két probléma között kapcsolatot lehet felfedezni. A Gy.2947. minden jó párba állításához kölcsönösen egyértelműen hozzárendelhető egy jó lépés sorrend a 2. problémából és viszont. Az összekötések kezdőpontjához rendeljük a "felfelé" lépést a végpontjához pedig a "jobbra" lépést. [br][/size][size=85]Ennek következtében e probléma megoldásai is a Catalan-számok.[/size]
3. probléma
[size=85]A Gy. 2947. feladatban szereplő 2[i]n[/i] pont közül [i]n[/i]-et pirosra festjük. Hányféleképpen tehetjük meg ezt?[br][br][/size][size=85]Az ismétlés nélküli kombinációról tanultak szerint a kifestések száma: [math]F_n=\binom{2n}{n}[/math][br][/size][size=85]Vizsgáljuk az [i]F[/i] és [i]C[/i] sorozatok első néhány tagját![/size]
[size=85]Észre lehet venni valamilyen kapcsolatot a két sorozat tagjai között?[/size]
Sejtés
[math]\left\langle n+1\right\rangle\cdot C_n=F_n[/math][br][math]\left\langle n+1\right\rangle\cdot C_n=\binom{2n}{n}[/math][br][math]C_n=\frac{\binom{2n}{n}}{n+1}[/math][br][math]C_n=\frac{\left\langle2n\right\rangle!}{n!\cdot\left\langle n+1\right\rangle!}[/math] [math]=\binom{2n}{n}-\binom{2n}{n-1}[/math][br][size=85]A fentiekben látott rekurzióval és teljes indukcióval a sejtés igazolható[b]?[/b][/size]
Hanyag pénztáros
[size=85]Egy moziban a jegyek egységesen 1000 forintba kerülnek. A [url=https://www.geogebra.org/m/vw3sdjbs]lusta/hanyag pénztáros[/url] nem törődik azzal, hogy felkészüljön a munkájára, így váltópénz nélkül kezdi a napot. Nyitáskor 2[i]n[/i] ember áll sorban a pénztár előtt, [i]n[/i]-nél egy darab kétezres, [i]n-[/i]nélegy darab ezres van. Hányféleképpen állhatnak sorba úgy, hogy mindenki tud jegyet venni?[/size][br][br][size=85]Ha az ezreseknek megfeleltetjük a 2. probléma "felfelé" lépéseit, a kétezreseknek megfeleltetjük a "jobbra" lépéseket, akkor láthatjuk, hogy ennek a problámának is a megoldási a Catalan-számok.[/size]
További problémák
[list=1][*][size=85][/size][size=85][url=https://web.cs.elte.hu/blobs/diplomamunkak/bsc_matelem/2013/nemeth_regina.pdf]Egy [i]n[/i] oldalú konvex sokszöget, hányféleképpen lehet felbontani háromszögekre az átlóival úgy, hogy az átlók nem metszik egymást?[/url][/size][br][/*][*][size=85][url=https://docplayer.hu/39691193-Rekurziv-sorozatok-eotvos-lorand-tudomanyegyetem-budapest-csiko-csaba-temavezeto-dr-mezei-istvan-matematika-szakos-hallgato-elte-ttk.html]Az udvarias sofőr esete[/url][/size][/*][*][size=85][url=https://docplayer.hu/39691193-Rekurziv-sorozatok-eotvos-lorand-tudomanyegyetem-budapest-csiko-csaba-temavezeto-dr-mezei-istvan-matematika-szakos-hallgato-elte-ttk.html]Hányféleképpen zárójelezhető egy [i]n[/i] tényezős szorzat?[/url][/size][/*][*][size=85][url=https://www.komal.hu/feladat?a=feladat&f=B4928&l=hu]KöMaL B. 4928. feladat[/url][/size][/*][/list]
Vendel koronája
[size=85][url=https://www.geogebra.org/search/Szilassi%20Lajos]Dr. Szilassi Lajos tanár úr [/url]egy régi évfolyamtársa, Kardos Lajos hívta fel a figyelmünket egy érdekes cikkre, ami 2014. 02. 26-án jelent meg a [url=https://math.bme.hu/]BME[/url] [url=http://math.bme.hu/~hujter/halad.htm]Haladvány Kiadvány[/url]ában, és amelynek szerzője [url=https://det.math.bme.hu/hujter-mihaly]Hujter Mihály[/url]. A cikk címe: [url=http://math.bme.hu/~hujter/140226.pdf]Talpalattnyi arányosság[/url].[br]Az írás szerzője egy 1936. márciusában megjelent KöMaL feladat kapcsán emlékezik meg egy kiváló szerzetes tanár, [url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Endr%C3%A9dy_Vendel]Endrédy Vendel (sz. Hadarits Kálmán)[/url] munkásságáról, annak neves tanítványairól. A cikket nyomatékosan ajánlhatjuk elolvasásra.[br][br]A probléma ami a cikkben megjelenik így fogalmazható meg:[br][/size][size=85]Adjuk meg egy hegyesszögű háromszögben a talpponti háromszög és a hegyesszögű háromszög területének arányát a háromszög két szögének felhasználásával![br]Hujter Mihály közöl egy megoldást, miszerint e keresett arány:[br][center][math]2\cdot cos\alpha\cdot cos\beta\cdot cos\left\langle\pi-\alpha-\beta\right\rangle[/math][/center][/size][size=85]Ezt az arányt nevezte a szerző Vendel koronájának.[br][/size][br][size=85][url=https://hu.wikipedia.org/wiki/Szilassi_Lajos]Dr. Szilassi Lajos tanár úr[/url] is adott egy megoldást, ezt mutatja a következő GeoGebra fájl.[/size]
[size=85]Nem túl didaktikus módszer az, hogy egy egyszerűbb megoldás után egy bonyolultabbat mutatunk. Most mégis ezt tesszük, hogy miért, az talán az olvasó számára ki fog derülni.[/size]
[size=85]A számolás végigkövethető ebben a GeoGebra CAS fájlban:[/size]
[size=85]Látható, hogy a három bizonyítás három "különböző" trigonometrikus kifejezést adott eredményül. Ha mindegyik jó, akkor ezeknek egyenlőknek kell lenniük. Nézzük meg, hogy mit mond erről a GeoGebra CAS![/size]
[size=85]Úgy tűnik, hogy a három kapott kifejezés egyenlő. A pontos igazolás "lélekemelő" trigonometriai gondolatmeneteket igényel, ezeknek megalkotását az olvasóra bízzuk.[br][br][/size][size=85]Ezek után felmerülhet az a kérdés, hogy a Vendel koronája arány hogyan változik az [math]\alpha[/math][/size] [size=85]és [math]\beta[/math] [/size][size=85]szögek függvényében. Az ezt leíró kétváltozós függvény grafikonja az alábbi képen látható.[/size]
[size=85]Ennek a kétváltozós függvénynek a szélsőértékét az alábbi GeoGebra CAS fájl adja meg. [/size]
[size=85]Kaptuk, hogy a területarány szabályos háromszög esetében maximális, az értéke ez esetben [math]\frac{1}{4}[/math][/size].