[b][size=150][color=#ff0000]LE PRIME RELAZIONI TRA LE GRANDEZZE GONIOMETRICHE[/color][/size][/b][br]Le grandezze goniometriche sono di fatto la riformulazione di un concetto piuttosto semplice: i lati di due triangoli con gli stessi angoli sono proporzionali tra di loro. [br][br]Non si potrebbe risolvere tutto con delle semplici proporzioni, allora? [br][br]Evidentemente no. Seno, coseno e tangente [b]collegano questa proprietà dei triangoli con la misura degli angoli che compaiono nel problema [/b]e sono una formulazione [b]specifica per capire come cambiando l'angolo cambia la situazione descritta dal problema.[/b] La goniometria inoltre approfondisce le proprietà di queste grandezze trovando come sono in relazione tra loro, a volte in modo molto elaborato e complesso. Questo permette ulteriormente di centrare il problema sugli angoli che ne caratterizzano la situazione e risolverlo da questo punto di vista.[br][br]Due delle relazioni che legano le grandezze goniometriche sono dette fondamentali, perché sono immediate conseguenze delle definizioni e permettono di comprenderle ancora meglio.[br][br][size=150][color=#ff0000]LA PRIMA RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA GONIOMETRIA[/color][/size][br]La prima relazione fondamentale della goniometria afferma che per qualsiasi angolo [math]\large{\alpha}[/math] vale la seguente formula:[br][br][math]\Large{\textcolor{red}{sin^2(\alpha)}+\textcolor{blue}{cos^2(\alpha)}=1}[/math][br][br]Vedremo più avanti che il modo più diretto e semplice per descriverla è considerarla [b][color=#ff0000]un'applicazione del teorema di Pitagora[/color][/b]: essa afferma infatti che [color=#ff0000][b]seno e coseno di un qualsiasi angolo possono essere considerati come i cateti di un triangolo rettangolo la cui ipotenusa misura sempre [/b][math]\Large{\textcolor{red}{1}}[/math][/color].[br][br]Fin da subito abbiamo visto che seno e coseno sono legati ai cateti di un triangolo rettangolo, quindi questa relazione appare abbastanza naturale. In seguito daremo nuove definizioni, ovviamente equivalenti, delle grandezze goniometriche e vedremo che da questo nuovo punto di vista questa relazione è addirittura banale. Per il momento otteniamo qui sotto la relazione fondamentale partendo da un triangolo rettangolo qualsiasi e dalle definizioni di seno e coseno.[br][br][br]

Abbiamo che [math]\large{\textcolor{red}{sin(\alpha)=\frac{\overline{PH}}{\overline{OP}}}}[/math] e [math]\large{\textcolor{blue}{cos(\alpha)=\frac{\overline{OH}}{\overline{OP}}}}[/math], quindi[br][br][math]\large{\textcolor{red}{sin(\alpha)}^2+\textcolor{blue}{cos(\alpha)}^2 = \left (\textcolor{red}{\frac{\overline{PH}}{\overline{OP}}}\right )^2 + \left (\textcolor{blue}{\frac{\overline{OH}}{\overline{OP}}}\right )^2= \frac{\textcolor{red}{\overline{PH}}^2}{\textcolor{red}{\overline{OP}}^2} + \frac{\textcolor{blue}{\overline{OH}}^2}{\textcolor{blue}{\overline{OP}}^2}}[/math][br][br]Il che facendo il denominatore comune, ci porta a:[br][br][math]\Large{\textcolor{red}{sin(\alpha)}^2+\textcolor{blue}{cos(\alpha)}^2 = \frac{\textcolor{red}{\overline{PH}}^2+ \textcolor{blue}{\overline{OH}}^2}{\overline{OP}^2}=\frac{\overline{OP}^2}{\overline{OP}^2} = 1}[/math][br][br]Dove al numeratore abbiamo applicato il teorema di Pitagora, ottenendo l'ipotenusa che poi si semplifica, riportandoci al risultato atteso.[br][br][color=#ff0000][b]La prima relazione fondamentale è importante perché ci permette di ottenere il seno a partire dal seno e viceversa[/b][/color]. Ad esempio se vogliamo ricavare il seno abbiamo:[br] [br][math]\Large{\textcolor{red}{sin^2\alpha}+\textcolor{blue}{cos^2\alpha}=1}[/math] isolo il coseno...[br][br][math]\Large{\rightarrow \textcolor{blue}{cos^2\alpha}=1-\textcolor{red}{sin^2\alpha}}[/math] applico una radice per eliminare la potenza[br][br][math]\Large{\rightarrow \textcolor{blue}{cos(\alpha)}=\pm \sqrt{1-\textcolor{red}{sin^2\alpha}}}[/math][br][br]Da notare che a partire da un certo valore di [math]\large{\textcolor{red}{sin\alpha}}[/math] [b]otteniamo due valori, opposti tra loro, [/b] per [math]\large{\textcolor{blue}{cos\alpha}}[/math]. Capiremo meglio il significato di questo doppio risultato con le nuove formulazioni di seno e coseno.[br][br][size=150][color=#ff0000]LA SECONDA RELAZIONE FONDAMENTALE DELLA GONIOMETRIA[/color][/size][br]La seconda relazione fondamentale che si ricava in modo ancora più semplice e mostra che [b][color=#ff7700]la tangente è pari al rapporto tra seno e coseno[/color][/b]: [br][br][math]\Large{tan\left(\alpha\right)= \frac{\textcolor{red}{sen\left(\alpha\right)}}{\textcolor{blue}{cos\left(\alpha\right)}}}[/math][br][br]Abbiamo già ricavato questa relazione nel capitolo precedente; un mono alternativo per ottenerla è considerando che:[br][br][math]\Large{\frac{\textcolor{red}{sen\left(\alpha\right)}}{\textcolor{blue}{cos\left(\alpha\right)}}=\frac{\textcolor{red}{\frac{cateto\ opposto}{ipotenusa}}}{\textcolor{blue}{\frac{cateto\ adiacente}{ipotenusa}}}=\textcolor{red}{\frac{cateto\ opposto}{\cancel{ipotenusa}}} \cdot \textcolor{blue}{\frac{\cancel{ipotenusa}}{cateto\ adiacente}}=\frac{cateto\ opposto}{cateto\ adiacente\ }=tan\left(\alpha\right)}[/math][br][br]Grazie a questa relazione [b]possiamo esprimere la tangente[/b] non più basandoci necessariamente sulla definizione e quindi sui cateti di un triangolo, ma [b]utilizzando direttamente le funzioni seno e coseno dello stesso angolo[/b]. Da notare che ogni cateto viene sostituito con la funzione ad esso associata - seno per quello opposto e coseno per quello adiacente - quindi la relazione è molto semplice da ricordare.[br]